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V v-m v-m-l 



dieses Verfahrens kann schliesslich J(\) durch .I(\) und J(x) ausge- 

 drückt werden, was zuerst Lommel bekannt gab. Seine Formel Iaulet\): 



.)(x) = J(x) ^ (—!)•' -i^::^ • - 



v-m-i'^ (in _ 1 ._ p)i.!-i (2v — 2m -[- 2 -f- 2p)'"-i-2p|2 



— J(X) ^( 1)1' — • ,^m-l-2p 



Setzt man hierin v = m -|- 1, 



SU entsteht: 



.)(x} = J(\)^(- 1)1' :^^^^ — — — 



(m-l-p)"l-i (2p + 4)'"-^--i'l- ' 

 ' p! x^-i-'^P 



wo die Ausdri^icke hinter den Summenzeichen die allgemeinen Glieder 

 zweier endlichen Ueihen vorstellen, deren einzelne Glieder daraus 

 hervorgehen, wenn man statt p der Reihe nach 0, 1. 2 ... . und alle 

 positiven ganzen Zahlen einsetzt; in der ersten Reihe braucht man 



p nicht grösser als — - zu nehmen, weil für grössere Wertlie von p 



der Faktor (m — p)'*'^ und damit alle folgenden Glieder der Reihe 

 Null werden; ebenso ist der grösste Werth für p in der zweiten Reihe 



m— 1 

 gleich — Setzt man in dieser Gleichung nach und nach m = 



1, 2. 8 (i- — 1) . . . , so erhält man die einzelnen Funktionen 



_' 3 4 r 



J(\), J)x), l[\) . . . J(x) . . . ausgedrückt durch die Funktionen J(x) 



1 ' 

 und J(x). 



Wir schreiben : 



2 1 



J(x) = Ai Ji\) — Bi J(x) 



3 1 



J(x) -= Aa J(x) — B2 J(x) 



J(X) = A,.i .I(X) - ßr.l J(\), 



WO 



N(_ i)P ^^ - p'" '' (^i' -i- 2)^--"^ 



^mmi p ! \l-^P 



A V, iu.i2-plPi-i (2p-[-2)2-2pr 

 ^ p! x-'-'p 



') Loiiiluol: «Studien ühor die Bcssersclion Fiinktiuiien." t^oii»zig, 18(38. 

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