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ist durch 4 willkürlich gej^ebene Fl;iclien bestimmt. Wird die drei- 

 fache Scbaar diircli irgend eine Ebene geschnitten, so sind auch die 

 entstandenen Kegelschnitte eine dreifache Schaar, d. h. wenn vier 

 derselben bekannt ^iml, so ist die Gesamnilheit aller übrigen schon 

 bestimmt, nnd wenn von irgend einem fi'inflen z. B. drei Punkte ge- 

 geben sind, so ist er schon l)estimmt. Wenn demnach in einer Ebene 

 auch nur 5 Kegelschnitte beliebig gegeben sind, so gehen keine 5 

 Flächen zweiten Grades durch, welche einer dreifachen Schaar ange- 

 hören, also in specie keine, welche 6 Punkte gemein haben. Sind 

 aber in der Ebene nur 4 Kegelschnitte gegeben und von den 6 Punk- 

 ten, welche die durchgelegten Flächen zweiten Grades gemein haben 

 sollen nur drei beliebig gegeben, so durchlaufen die drei übrigen 

 eine Curve. 



Ad 2" Es kömmt hier Alles auf die Richtigkeit dieses Axioms 

 an : ■• Wenn Y das Polynom einer algebraischen Fläche bedeutet, welche 

 den Durchschnitt zweier Flächen, deren Polynome F, f sein mögen, ganz 

 enthält, so ist Y = F f -|- f (/>, wo <1) und (p wieder zwei Polynome 

 bedeuten.» Besteht dieses Axiom, so seien die vier Hülfspolynome, 

 in fallender Reüie geordnet, 0, (f-, F. f von den Graden ni p 



ni — n, n, p. Man setze S = — p (p'-^ )- 11) — (m — n) 

 n p — 1. 



Nehmen wir jetzt die Fläche Y als beliebig gegeben an und 

 verlangen von ihrem Polynom die obige Form, so ist die Zahl der 

 nach Abzug aller Bedingungen noch übrigen verfügbaren Grössen 



1° S, wenn m — p > m — n > n >> p. 



2" S — 1, wenn n := p m >• 2 p. 



3" S — 2. wenn n = p m = 2 p. 

 Im ersten Fall hat S immer einen negativen Werth, die Fläche 

 Y ist also immer bornirt ; z. B. für m = 4, n = 2, p = 1 ist 

 S = — 1. d. h. die Fläche vierten Grades ist einfach bornirt, wenn 

 sie von einer Ebene in 4 Punkten berührt werden kann (wo dann 

 die Ebene die Fläche in 2 Kegelsclmitten schneidet). Im zweiten 

 Fall ist S — 1 immer negativ, sobald p > 2 genommen wird; für 

 p = 1 ist die einzig mögliciie freie Fläche diejenige dritten Grades, 

 d. h. sie enthält die bekannten 27 Geraden. Die Fläche vierten 

 Grades wird für p = 1 schon einfach bornirt; für p = 2 ist schon 

 die Fläche 5. Grades vierfach bornirt. d. h. wenn sie eine C-'Xs ent- 

 halten soll. Im dritten Fall ist S — 2 = o für p = 1, die Fläche 



