— 113 — 



zweiten Grades also frei, wenn sie Geraden entlialten soll; aber schon 

 für p = 2 wird S — 2 = — 1, d. h. die Fläche 4. Grades ist ein- 

 fach bornirt, wenn sie Durchschnitte zweier Flächen zweiten Grades 

 (C2X2) enthalten soll; die Fläche 6. Grades wird 10 fach bornirt, 

 wenn sie C3X3 enthalten soll u. s. f. 



Dass ich das erwähnte Axiom und andere ähnliche nicht be- 

 weisen kann, erschwert mir die Aufgabe, für Flächen und räumliche 

 Curven etwas aufzustellen, was der Theorie der nolhwendigen Punkte 

 bei den ebenen Curven entspräche. Unter vielen zum Theil ver- 

 wickelten Sätzen lege ich Ihnen folgenden zur Beurtheilung vor: 



< Wenn durch die n p q Durchschnitlspunkte von drei Flächen 

 jjten ^ pten ^ qten ßrades eine Fläche ra'*^"^ Grades, die keiner der vori- 

 gen an Grad nachsieht, gelegt werden soll, so findet man die Zahl 

 der nolhwendigen Punkte auf folgendem Wege. 31an entwickle den 

 Ausdruck 



lasse die Potenzen von y, welche negative Exponenten haben daraus 

 weg, setze dann y = 1 -f- x und entwickle nach den Potenzen von x; 

 dann ist der Coefficient von x^ die Zahl der nolhwendigen Punkte.» 

 Vielleicht interessirt Sie folgender Satz über die Punkte einer 

 freien Gurve m X n'"' Grades, in denen sie von einer Ebene vier- 

 punktig berührt wird. Sie liegen auf einer Fläche [6 (m -f- n) — 20]**^'* 

 Grades, so dass ihre Zahl mn [6 (m -j- n) — 20] beträgt; dieses ist 



ein Satz, weil dadurch unter den genannten Punkten 



(m -j- n — -i) + 1 nothwcndig werden. 



Es ist aber auch klar, dass die Fläche bei weitem nicht be- 

 stimmt ist. Unter den unzähligen möglichen Flächen kann man eine 

 durch folgende Bedingungen angeben. Es seien A, 13 zwei Flächen 

 m*'-" und n'''" Grades, die sich in jener Gurve schneiden, fi ein noch 

 zu bestimmender Punkt. Seine in Beziehung auf A, B genonmiene 

 Polarebenen a, b. die Polarllächen zweiten Grades «, ß. Es sei fer- 

 ner in Bezug auf die Basis B, wenn man a als Direktrix annimmt. P, 

 die erste Polarenveloppe, dagegen P' die zweite Polarenveloppe für die 

 Basis A und die Ebene b als Direktrix ; endlich sei P" der Ort jedes 

 Pols, dessen in Bezug auf B genommene Polarebene seine in Bezug 

 auf A genommene Polarflächo zweiten Grades berührt. Nimmt man 

 nun in Bezug auf alle drei Flächen P, P', P" als Basen die Polar- 

 ebenen des Punktes f.i, nämlich p. p', p", so werden sich diese in einer 



Bern. Milleil. 1896. Nr. 141 ;}. 



