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und derselben Geraden schneiden. Man lege eine vierte Ebene p'" 

 so durch, dass 



P' 



i P' /P" 



P 

 sin 4: Ip p'"] ^ sin < (p p') 



sin < (p'" p") ■ sin < (p" p'} 



wird 



Wenn man dieselbe Gonstruktion mit Vertauschung der Flächen 

 A, B wiederholt, so erhalte man die Ebene q'". Verlangt man nun, 

 dass alle vier Ebenen a, b, p'", q'" einen Punkt gemein haben, so er- 

 giebt sich als Ort des Punktes ^i eine Fläche [6 (m -|- Ji) — 20] *^" 

 Grades, welche die urspri^ingliche Gurve in den Punkten schneidet, 

 wo sie von einer Ebene vierpunktig berührt wird. [Für G ^ x '-' sind 

 es die Quadrupelebenen.] 



Wenn eine Fläche m'*^" und ein Flächenbüschel n*^*^" Grades ge- 

 geben sind, so enthält dieses 



m [3 (n — 1)^ + 2 (n — 1) (ui — 1) | (m — 1)-] 

 Flächen, welche jene berühren. Es mögen sich zwei Flächen F und f 

 berühren, so schneiden sie sich in einer räumlichen Gurve, welche 

 den Berührungs[)unkt zum Doppelpunkt hat ; man ziehe hier die zwei 

 Tangenten an die Gurve. Legt man nun noch eine Berührungsebene 

 an derselben Stelle , so erhält man als Durchschnitte F und f zwei 

 ebene Gurven, welche hier auch jede einen l)oppol[)unkt haben, dem 

 je ein Tangentenpaar zugehört. Alle drei Tangentenpaare sind in 

 Invokilion. 



Alle Tangenten einer G^^X^^ bilden eine abwickelbare Fläche D, 

 deren (irad m n [m | n — 2] ist; alle Ebenen, welche die Gurve 

 in zwei verschiedenen Punkten berühren, erzeugen ebenfalls eine ab- 

 wickelbare Fläche E. Ist r der Grad der Fläche D, so wird ihre 



l)oppellini(! von einer beliebigen Ebene in — r [r — 4] Punkten 



geschnitten. An die Fläche E gehen duich irgend einen gegebenen 

 Punkt 



