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tion zwischen den Zahlen der Bestimmungsstücke eines (con- 

 vexen) Polyeders. 



Dieselbe wird bekanntlich durch E4-F— Se=2 ausge- 

 drückt, wo E, F, S der Reihe nach die Anzahl der Ecken, 

 S e i t e n f 1 ä e h e n und Seitenkanten eines conve.ven 

 (d. h. von einer Geraden in höchstens 2 Punkten trefFbaren) 

 Vielflachs bezeichnen. 



Den Beweis führt man gewöhnlich (L e g e n d r e u.'A.) mit- 

 telst der sphärichen Polygonometrie, indem man aus irgend 

 einem Puncte im Innern des Körpers mit beliebigem Halbmes- 

 ser eine Kugelfläche beschreibt, dieProjectionenje zwei näch- 

 ster Polyederecken auf dieselbe durch Bögen grösster Kreise 

 verbindet und die Oberfläche der Kugel einmal unmittelbar, 

 daim als Summe der entstandenen sphärischen Vielecke be- 

 stimmend, beide Ausdrücke einander gleichsetzt. Anders z.B. 

 L i 1 1 r o w ; er schiebt in das Netz des Polyeders ein neues Viel- 

 eck ein, und weist nach, dass der Werth von E+F — S dabei, 

 folglich auch bei was immer für einer Veränderung in der 

 Zahl der Polygone, ungeändert bleibe; derselbe sei also con- 

 stant und w eil etwa am Würfel , so überall gleich 2. 



Beide Beweise sind offenbar indirect (nicht am Körper 

 selbst geführt) , schliessen einspringende Ecken gänzlich 

 aus, bei dem zweiten entsteht obendrein der Zweifel, ob 

 E-f-F — S nicht etwa bloss für aus einer ursprünglichen Com- 

 bination (oder Grundgestalt) hervorgegangene Körper den 

 gleichen, für verschiedene Reihen verschiedene Werthe an- 

 nehme. — Ob folgender Beweis die Lücke genügend aus- 

 füllt? 



I. Bei einem ( vorläufig convexen ) übrigens beliebigen 

 Vielflach können Avir was immer für eine Ecke durch eine, 

 alle Flächen und Kanten an derselben und nur 

 diese schneidende Ebene hinwegnehmen, ohne dass E-f-F— S 

 hiebei seinen Werth ändert. Denn sei die Ecke n kantig, so 

 geht sie verloren, dafür treten an den Schnittjiuncten der 

 Kanten n neue Ecken , zwischen diesen eben so viel Kanten 

 und von beiden begränzt eine neue Fläche auf. E, F, S sind 

 also in E-+-n- 1, F-f-l , S+n übergegangen, E-fF — S also 

 unverändert geblieben. Man sieht, dass diess auf alle Ecken 

 angewandt, beliebig wiederholt und durch Aeuderung der 



