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Lage der schneidenden Ebene modificirt, unzählige Polyeder 

 gibt, für welche E+F — S iingeändert bleibt. 



Wir wollen es bloss auf jede Ecke einmal anwenden, 

 um das gegebene Polyeder ohne Aenderung vonE-|-F — Scs=M 

 in ein anderes , offenbar von lauter dreiflächigen Ecken be- 

 grenztes umzugestalten an dem wir den Beweis weiter führen. 



11. E-l-F — S bleibt ferner ungeändert, wenn wir beliebig 

 viele Ecken oder Flächen, für Jede derselben aber auch eine 

 Kante hinvveglassen. Um diese Reduction methodisch vorzu- 

 nehmen, stellen wir das Polyeder auf eines seiner Vielecke 

 (untere Grenzfläche); hat dieses p Seiten, so tilgen 

 diese seine (p) Ecken, an jeder Ecke lehnt sich eine Kante, 

 an jede Kante eine Seitenfläche des erst en Gürtels, beide 

 an Zahl gleich (p), einander folglich aufhebend. Diesen Po- 

 lygonen gehören ausser den untern (p) Ecken und Kanten 

 noch eine andere, die erste Zwischenreihe von Ecken 

 und Kanten, von beiden gleichviel an, die also fortgelassen 

 werden. So fortgehend , findet man den zweiten Gürtel aus 

 Polygonen und sie scheidenden Kanten in gleicher Zahl be- 

 stehend, dann wieder eine zweite Zwischenreihe, deren Ecken 

 und Kanten sich tilgen , und so fort , bis die Flächen des 

 letzten Gürtels entweder in die obere Grenzfläche oder in eine 

 (dreiseitige, Mie oben gezeigt) Ecke münden. Ungetilgt und 

 den Werth von E-f-F — S bestimmend blieben bei dem vorge- 

 steckten Gange nur die untere Grenzfläche und die nach oben 

 den Schluss bildende Fläche oder Ecke, also 2 Stücke, somit 

 E+F— Sc=2, w. z. b. w. 



Man sieht leicht, in wiefern dieser Beweis auch bei ein- 

 springenden Winkeln Anwendung findet, obschon hier eine 

 feste Regel aufzustellen etwas schwieriger sein dürfte. 



II. 



DerNe]! er' sehe (natürliche) Logarithmus einer Rational- 

 zahl, ferner dessen ganze Potenzen sind mit dieser incom- 

 mensurabel, auch nicht Wurzeüi einer Zahlenglejchung mit 

 commensurablen Coefficienten. 



Liouville dürfte der erste gewesen seyn, der diesen 

 Satz, wenigstens in obigem Umfang, begründete. Sein Be- 

 weis, auf die Theorie der Differentialgleichungen gestützt, 

 dürft© an Strenge und Schönheit seines Gleichen suchen ,• der 



