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Wenn man auf den 3 Seiten eines sphä- 

 rischen Dreieckes die Punkte a, b, c so an- 

 nimmt, dass : 



sin Ab . sin Bc . sin Ca = sin Ac . sin ßa . sin Cb 

 ist, so schneiden sich die 3 Bögen Aa , Bb, 

 Cc in einem einzigen Punkte. 



Um diess zu beweisen, ziehe ich Aa und 

 Bb und verbinde C mit 0, so schneide die CO 

 die AB in m. alsdann hat man nach (4) 

 sin Ab. sin Bra. sin Ca = sin Am. sin Ba. sin Cb 

 Allein nach der Voraussetzung ist : 



sin Ab. sinBc. sin Ca = sinAc. sinBa. sin Cb 

 dividirt man beide Gleichungen durcheinander, so 

 sinBm sin Am , sinBm sin Bc 



ist ; 



sin Bc sin Ac 

 woraus hervorgeht, dass : 

 sin Bm -f sin Am 

 sin Bm — sin Am 

 Bm + Am 



sin Am 



sin Ac 



sin Bc -f sin Ac 



sin Bc — sin Ac 



Bc-fAc 



2 



Bm — Am 



tff 



Bc-Ac 



ist 



ts 



Die Zähler dieser Brüche sind gleich, also müssen auch 

 die Nenner gleich sein, daher ist: 



Bm ~ Am Bc — Ac 



*g 2 = ^S 2— 



woraus folgt, dass entweder: 



Bm — Am Bc — Ac 



Bm — Am 



2 

 Bc-Ac 



oder ; 



+ 180" ist. 



3 — 2 



Die erste Gleichung, verbunden mit Bm-f- AmcsaBc -|- Ac 

 gibt : Bm s= Bc, d. h. m und c fallen zusammen, die zweite 

 abermit Bju -f Am=Bc -|- Ac verbunden, gibt Bm = Bc 4- 180°, 

 d. h. die Punkte m und c, die auf AB liegen, sind 180" von 

 einander entfernt, daher geht der Bogen CO nicht nur durch 

 ra, sondern auch durch c. 



Daraus folgen nachstehende Sätze : 



