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heil auf dei- üeciinalwage zu bestimmen, d. Ii., obwohl 

 diese Grössen nicht wirklich existiren, so brauchen wir sie 

 doch — sie sind die Springstöcke der Mathematik und die 

 imaginären Grössen spielen eine der ersten Rollen unter diesen. 

 Aus dem Umstand, dass in der Mathematik die Erwei- 

 terung der ersten Grundbegriffe in geradem Verhältniss 

 stehe zur Ausdehnung ihres Wirkungskreises, folgt, dass, 

 wenn neue Elemente, '/. B. die imaginären Grössen, in die 

 Wissenschaft eingeführt werden, diese sich den vor ihnen 

 bestandenen Regeln anschmiegen müssen — solche Metho- 

 den aber, die nach der Einbürgerung der neuen Elemente 

 entdeckt würden, können nicht früher allgemein acceptirt 

 werden , als bis ihre Giltigkeit auch in Hinsicht der neuen 

 Elemente bewiesen ist. — Dies gibt den Weg der Unter- 

 suchung. 



Zum Begriff der imaginären Grössen in ihrer lateralen 

 geometrischen Bedeutung kann man auf dem von Gauss 

 zuerst betretenen Weg ,/« priori'' gelangen ; aber auch 

 die analytische Erfahrung hat lange vorher auf unzähligen 

 Wegen zu denselben geführt. Hr. Prof. Arenstein zeigte 

 nun einen dieser Weore, der sich durch seine ungezwun- 

 gene Eleganz besonders auszeichnet. 

 Wenn man nämlich die Reihen: 



X __^ X X^ X* x*^ x"' 



^.. X3 , X-' x^ 



öin X := X — h j- o\ 



1-2 3^ 1-2-3-1-5 1-2-3-4-5 6-7 ^^' " * ^^ 

 r^ . X- X* x^ 



Cosx = l -f- -1- q-k 



12^1-2-3 4 123 1-5« ^- ' ^J 



vergleiche , und in 2) und 3) von dem Zeichenwechsel abs- 

 trahire, so finden sich alle Glieder von der ersten Reihe 

 in den beiden andern. Da x in 1) willkürlich ist, kann man 

 statt dessen setzen ix und —ix; substrahire man nun die so 

 entstandenen Reihen , indem man mit 2i dividire, oder addire 

 sie^ indem man mit 2 dividire, so findet man 



ix — ix 



e — e _, i^ X» i* x5 



2i —'^■*"i¥3 +12-3-4 5 -*-••• 4) 



1-23 " 12-3-4 5 

 — ix 



e I _. »^ "2 i* X* 



~ -*"*"T2+T2¥:4+- • 5) 



