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will man nun, dass 4) und 5) mit 2) und 3) idcntiscli werde, 

 so hat man blos zu setzen: 



woraus : 



i^t/ITT 



Hr. Professor A r e n s t e i n gin *>; nun auf die Eigenschaften 

 der imaginären Grössen über, und zeig<e, dass man mit ihrer 

 Hülfe die Zahl 2 und alle Primzahlen von der Form 4n + l 

 in zwei Factoren zerlegen kann , z. B. 



29=C5 + 2l/ — O C5-2l^-0=5^— C2 ^ -^V 

 während dies für die Primzahlen von der Form 4n + 3 unmög- 

 lich ist. 



Die Eigenschaft, 2 Gleichungen in einer zusammen zu 

 fassen, theilen die imaginären Grössen mit allen jenen, die 

 sich durch einander nicht ausdrücken lassen, z. B. 



1, 1/2, 1/3, i/ö, r/r u. s. w. , 



so dass wenn man n Gleichungen hat, man nur n solche Fac- 

 toren zu wählen und mit ihnen zu multijdiciren hat, um eine 

 Gleichung zu bekommen. Vorausgesetzt dass der gewählte 

 Multiplicator nicht schon in der zu muKiplicirenden Gleichung 

 enthalten sey. 



Mit den Exponentiellen undLogari<hmen theilen die Ima- 

 ginären die Eigenschaft, die Operationen zu vereinfachen. 



Eine besondere und ausschliessliche Eigenschaft der 

 imaginären Grössen ist, dass sie die Brücke bilden, welche 

 Functionen von verschiedener Natur miteinander verbindet , 

 was durch die Formeln geschieht : 



G e= cos X + 1/ — 1 sin x 



1 b 



log (a+b l/— 0=7 log Ca--hb-) + l^— l arctangj 



Aus einer oder der andern dieser Gleichungen ausge- 

 hend kommt man auf den Umstand, dass, obwohl |/ — 1 

 durch keine reele Zahl ausdrückbar ist, die imaginären Po- 

 <enzen davon doch reele bestimmte Werthe haben, z. B. 



(K — l)'^'' ^=3 418049 . . . 

 ( (/ - r}^ ~ ^ = 0.20787 . . , 



