98 



suite de cette solution^ qu'il nous frayera la route à des 

 recherches intéressantes sur le problème inverse. Pour cet 

 effet nous prendrons les diiTérentielles des coordonnées, 



qui, à cause de ds^zdxV i-\-pp-\~qq, seront: 



-i "V !dx (pp' -^- qr/ ) 



Xi (' + ?P + î'?)' ' 



^ Y sdx (pqq- j >'(i -4- g?)) 



(i -h }) f -f- <7 7)5 



(.' -i- p p + q n)^ 

 Mettons ^YrrPDx et dZ:zzÇidx , et nous aurons ces 



deux équations : 



I. V(pp'^qq^ — pqcf — p'(i^qq) 

 II. Qipp' H- qq') — qpp' — q^{i-\-pp) 

 «jui, combinées^ nous foiunissent : 



I. p ^\l.q—{Vp-^Çlq){pp'-+.qqf)—-{pp'-^qq') 

 I. a- II. P== 0= (p q'- qp') (Çiq ^Pp) -hVq'- Çlp'. 

 De la première combinaison il suit que P/> -f- Q.f]f zr; — i, 

 ee qui étant substitué dans la seconde , il en résulte 



q\V--p)~p^{Çl-q)-^0 

 ce qui donne 



f' dp V^ — p 



En prenant la différentielle de l'équation P/3-4-Q^(/zx— i, 

 on a 



PDp -h paP -h Q.3fr-f- (?âQ.= O. 

 Or dq::iz^^~^f ce qui étant mis à la place de dq. 



