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so erhalten wir schließlich als das M.-D. aller 5 Vektoren 



c _ a 4_d_&-f e — c + a — d + b — e, 

 das 10 Seiten, also doppelt so viel, als Vektoren vorhanden sind be- 

 sitzt, und zwar sind jedem Vektor zwei Seiten des M.-D. zugeordnet. 

 Daß dieser Satz allgemeine Gültigkeit besitzt, läßt sich leicht beweisen: 

 wir schreiben das M.-D. für einen Winkelraum kleiner als 180 , bei 

 dem eine Seite, sagen wir m, zum erstenmal vorkommt, also Mitte und 

 Ende des Ansatzes ist, und dann weitergehend, bis m das erste Mied 

 des Ansatzes ist. In weiteren Ansätzen kommt m nicht mehr vor 

 (Fig. 5). 



a+b +l+m-a-b -l-m , 



+l+-ni+0)~. 



N, N a bedeutet eine beliebige 

 Anzahl Glieder. 



-l-m-N n -' 



fn *' J -m-N fn ^ J 



Fig. 5. 



Es gilt also: . , 



Satz 2r In einem M.-D. kommt jeder Vektor zweimal vor, und 

 zwar bilden diejenigen Vektoren Seiten, welche in den Winkelraum 

 <-180° Ansätzen als erstes und letztes Glied auftreten. 



Eine einfachere Konstruktion des M.-D. führt zu einem weiteren 



Satze : 



Wir konstruieren, wieder, von a ausgehend, das erste < 180° M.-D. 

 (Fig 6) Nach Satz 2i wissen wir, daß a und c Seiten des gesamten 

 M -D sind. Konstruieren wir nun von b das zweite < 180° M.-D., so 

 sind b und d neue Seiten des M.-D., und zwar folgt auf Seite a Seite d 

 dann Seite b. Der Vektor d liegt innerhalb des reziproken Winkel- 

 raumes der Vektoren a und b. Außerhalb desselben kann d nicht 



reziproker 

 Winkelraum 

 a b 



Fig. 6. 



Fig. 7. 



liegen- da er einerseits nicht in den Winkelraum +180°, von a an 

 gerechnet liegen kann (sonst gehörte d ja in das erste 180» Diagramm), 

 und andererseits muß d in dem +180« Winkelraum von b liegen. 

 Es ist nun (Fig. 7) <^180<>; 360-?<180°, i// <180°. 



