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zwischen Zund Z; liegt Z, = |(M+M)a; (N + N,)b; (P +P)el 
zwischen +Z und —Z, liegt Z, = |(M—M)a; (N= N,)b; (PB,)c} 
Der Beweis dieses Satzes ist auf analytisch-geometrischem, noch mehr auf 
elementarem Wege so einfach zu führen, dass hier ganz darauf verziehtet werden 
darf; man liest ihn aus der Figur 1. Tafell. ab. Eben so leicht erkennt man, wie 
der Satz sich bei mehr als 2 gegebenen Axen gestalten würde. 
2) Die Zahlen M, N, Pin dem Ausdruck Z=}Ma; Nb; Pe} sind allerdings nur 
Verhältnisszahlen, in sofern sie. nur die Richtung der Zonenlinie bestimmen ,. nicht 
zugleich deren Länge, welche eine beliebige, unabhängige Variable ist. _ Man sieht 
daher, dass zwischen je 2 Zonenaxen Z und Z,, je nachdem deren Länge, verschie- 
den genommen wird, d.h. je nachdem man M, N und P mit verschiedenen, aber 
jedesmal gleichen Zahlen multiplieirt, unendlich viele diagonale Axen construirt wer- 
den können, welche alle in die durch jene zwei bestimmte Ebene fallen. Unter allen 
diesen muss es drei Linien geben, welche zugleich in die Axenebenen ad, be, ca fallen. 
Dies sind diejenigen Fälle, in denen die eine der drei Öoordinaten der diagonalen Axe =0 
wird. Diese drei „Axenschnitte“ sind leicht zu finden; denn wenn Z= | Ma; Nb; Pe\ und 
A =\Ma; Nb; Pıe| gegeben sind, so mache man successive die Coeffieienten der 
a, b, ce gleich, am besten durch Multiplication, so dass: 
M,Z = |MMya; NMb; Pc} und MZ, = |MMa; MN,b; MPıc! 
NZ = |MN,a; NNb; PNyc} uud NZ, = |NMa; NN,b; NP.c} 
PZ = |MPıa; NPib; PPıc} und PZ, = |PMa; PN,b; PPıc} 
Nimmt man Z positiv, Z, negativ (oder umgekehrt), und zwischen MZ und 
— MZ, u.s.f. die drei diagonalen Axen, so erhält man: 
2 = |0a; —MM—NM)b; (PM —MPı)c} =t {0a; —pb; cl (m = nR—Ppm, 
Z, = |(MN —NM)a; 08; —(NP—PN,)e} = |pa; 06; —me}) won = PM —MP, 
Zu = | — (PM, — MP)) a; (NP,R—PN;,)b; 0c} —I | na; mb; 0c| p= MN —NM 
Man überzeugt sich zunächst leicht davon, dass diese Linien in die Axen- 
ebenen fallen, also Axenschnitte der durch Z und Z, gelegten Ebene sind; aber 
auch eben so leicht davon, dass ein Schnitt 10a; —pb; ne} = | 0a; _ 2 = paral- 
Be b er 
lel geht mit einer durch = und + 7 gezognen Linie. Man: kann also setzen: 
b c 
c a 
n=lo:m 
Be 
A=|#:- 
