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quelle sera l'intépialc pour les cas où l'équation proposée monteroit 

 ou à un plus haut degré de dlilërcntielle ou à un plus bas. 



Tout révient donc à résoudre cette équation algébrique : 

 A -f-72B -4-;2^C -\-n^D-^ji''E -\-n^F -{-etc. m 

 «luni les racines étant supposées a, (3, y, 5, etc. on sera d'aboi'd 

 en état d'assigner l'intégrale complette de toutes ces équations diffé- 

 rentielles à quelque degré différentiel qu'elles puissent monter. 



Cependant ils se pourront rencontrer des cas, où l'évolution de 

 l'intégrale causeroit quelque difficulté, tels par exemple, où deux ou plu- 

 sieurs des racines pour le nombre ii seroicnt imaginaires ou éga- 

 les entr' elles. Pour le premier cas supposons que les deux raci- 

 nes a et (3 sojent imaginaires et qu'on ait trouvé a~|x-t-V|/ — 1 

 et |3 nz: fjt — V]/ — 1 et pour déterminer réellement les deux mem* 

 bres de l'intégrale e"^S((a7 — y) -\- e^^ "S^ (x — y) posons 

 <^l(x — 7j) :z=: ^ : (x — 7j) ~{~ Q} : (X — y) et 

 S5(x — y) — S0:Cx — îj) — (3:(x — Tj) 



et nous parviendrons à cette forme : 



' ef^y ^:Cx — 7/) (£*:>- i^ — '-f- g— vji^— .) 

 -f- e^^> © : (jc — 2/) (e'y^ — ' — c" '^>^— '). 

 Or on sait par la réduction des imaginaires qu'il y a 



e^yV-'_^e-''y>^-'z:^2cosyy et e'>^-' — e-^^>^-'z=: 2 /— 1 sinx?/ 

 donc puisqu'on peut rejetter les facteurs constans les deux mem- 

 bres qui repondoient aux deux valeurs a et |3 se réduiront à cette 

 forme réelle : 



ei'-y cos yy ^ :(x — y) -^ ef*> sin yy:(^(x— y). 



Pour l'autre cas où deux ou plusieurs des racines a, p, -y, 

 deviennent égales entre elles supposons d'abord |3 =: a et puisqu'- 

 alors les deux premiers membres se réuniroient dans un seul et 

 qu'on n'auroit plus autant de fonctions arbitraires que le degré de 



