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vaut les puissances de a:; et pour que cette série soit conver- 

 gente , il faut que x soit beaucoup plus ou moins grand que l'u- 

 nité : dans le premier cas on cherchera une série descendante de 

 x, dans le second cas une série ascendante. Si la valeur de a?~a, 

 pour laquelle on cherche la valeur de tj, diffère peu de l'unité, la 

 série ne pourra être rendue convergente , à moins que la solution 

 directe ou les conditions du problème ne donnent la valeur de 

 y zz. c , qui répond à une valeur b At x , peu différente de a. 

 Tout se réduit donc à former une série convergente : 

 (E) . . . . tjzzz Ar"^ -f- Bx^ -{- Cxy -f- cet. 

 qui satisfasse à l'équation (A): ce qui l'evient à déterminer les e*- 

 posans a, (3, y, etc. et les coëflkiens A, B, C, etc. Il serait facile 

 de déterminer ces derniers, par la méthode des coëfjiciens indéter- 

 minés, si on connoissait les exposans ; mais la difficulté est, qu'on 

 ne connaît ni le premier coefficient a, ni la loi suivant laquelle les 

 coëfficiens [3, y, etc. procèdent. 



Neivton imagina pour cet effet le parallélogramme , connu 

 sous cet illustre nom, lequel , par la simple inspection ou par le 

 moyen d'une règle , donne une solution aussi simple qu'ingénieuse, 

 qui ne laisse rien à désirer. Le célèbre Kàstner a expliqué et 

 démontré cette méthode , dans son Analyse (*). Comme elle est 

 cependant, pour ainsi dire , mécanique ou géométrique , Lagrange 

 donna une solution purement analytique qui, dans le fond, n'est 

 autre chose que la théorie du parallélogramme de Neivton , expri- 

 mée dans le langage analytique , ainsi qu'on le verra. On trouve 

 la méthode de Lagrange , développée et prouvée dans l'excellent 

 ouvrage de M, Lacroix (**). Après avoir examiné avec attention 

 ces démonstrations, dont celle de Kàstner remplit 5 6 pages, il 

 m'a paru, vu l'importance de ce problème, qu'il ne serait pas in- 



(') Anfangsgrûnde der Analysis endUcher Orôfsen , pag. 324-330. 

 (*') Traité du Cale. Différ. et Int. Tom, I , p. 219-231. (p. 102. 113 de la 2*. éd,) 



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