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v^( ^ v'm 4- On — m^^) {v A- s') , donc / > ;>, parcequ'cn vertu de 

 l'équation (D'), //> zz: v'ni' -+- {m'' — w/O (y + n), et j > n. 



C'rtj //. m'''' z::i m' . pzzzvi'', tzzzr: d'où il suit t^p, se- 

 lon que la case R est au - dessus ou au - dessous de la ligne hori- 

 zontale bcin , ou sur cette ligne même. 



Cas J II. 1. m'^-^m' ou m^^zz; m'' -t- jul^, et v^im^—r')^ vix/, 

 ou /r^/??j' — yjx^. Substituant )/ r :zz y^t -i~ ^''s, par l'équation 

 (E^, il viendra y't^v'm^ — p.^ (y _|- j). Mais l'équation (D'') 

 donne v'/j zz: /m' — {.il' iv -{- n) ; donc ^ </j, à cause de n <C s. 



Cas ni. 2. mf' -zzL m' -h jul', y/x'' > v'im' — r), et <$> := h, 

 selon que ^#^^77^77^^)7^, ou que vix'-vW-^/r^ix's-ix'n. 

 Mais l'équation (EO donne v^ r ziz /t -^ ^''s ; d'où il vient (P=h, 

 selon que v't^v'm'' — v^xf — fX^«, ou selon que t^p, parcequ'en 

 vertu de l'équation (DO, //JZZvW — |jl^?z''z3 v W— ^'^ (j/ -j- 7z). 



\. 5. Nous avons donc prouvé, pour les positions de la 

 règle, ab et hc , c'est-à-dire, pour toutes les solutions dont l'é- 

 quation proposée est susceptible, que dans tous les cas, les termes 

 ou les cases qui se trouvent au-dessus de la règle, auront un expo- 

 sant de X , plus grand que les cases dont les coins sont sur la 

 prolongation de la règle , et que celles - ci auront toutes un même 

 exposant de x. Au reste il est visible que, si on égale un terme 

 C z^x^'y^' à B :zz x"* î/"' , pour en tirer une seconde solution, 

 n'''' doit être plus grand que n\ En effet lorsque 7/^ < iV , la 

 règle tombera à gauche de la verticale 6U, et par conséquent au- 

 dessus de la première case A , à moins qu'elle ne coïncide avec 

 la règle dans sa première position ba: dans le premier cas on 

 n' aurait aucune solution , dans le dernier cas on retomberait sur 

 la première solution. Lorsque nf'' n: n'' , la règle coïncidera avec 

 la verticale b\J , et il est aisé de voir qu'une pareille position ne 



Suppl. aux Mémoires de V^cad. -^ 



