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En eflet, les cocfficiens N "^ sont des fonctions de m et //, et or 

 vient de voir que, pour une certaine relation entre m et ?z, savoir 

 m zzz II -\- i, ces fonctions deviennent z^ H— 1 ou — 1, selon que 

 m est impair ou pair. Elles sont donc , au signe près , indépen- 

 dantes de m ; d'où il est clair qu'elles n'éprouveront aucun chan- 

 gement lorsqu'on mettra ;n -f- 2 , m -f- 4 , etc. à la place de m. 

 parcequc la relation m ziz. n -f- 1 a toujours lieu. Ainsi le coeffi- 

 cient de j^iidoc , qui est -f- N^'" ' ') ou — NC"' '), selon que m 



est impair ou pair, doit nécessairement être m: -|- 1. On con- 

 clura le même résultat de la forme primitive du coefficient de 

 fudx dans l'équation (9) (§. IS.), 



m ' m — 1 1.2 771 — 2 ' ' 



d'ûù il suit, par ce qui précède, si m est impair, 



n i ,„ , m[TO - 1) m(m— l)(m— 2) m(m — l) 



p _ 1 _ ,„ ^ ___ __ H . . . . --^ -+- 771, 



donc P - 1 z: 1 - /7i -+- ^^^ H 771 — 1 r (1 _. l)'" - , et 



P ziz 1 . Si 771 est pair, on a 



n , . m(m— 1) m(TO — 1) 



P =: — 1 -î- '" r.l f- • • • ~;y~^ -f- 'n := 



(1 771 -4- j _^. .. . H ^^ — 771 -f- 1 — 1)1= 



— ( 1 — 1 ;"'- -h 1, donc P r:: 1 . 



§. 22. Faisant les substitutions précédentes (§. 20. 21.) 

 l'équation (^y) se changera en 



(P) s™u =/'^«9x™ + ^/™- ' «aa;'"-i -{- N'^y™-2 7<ax'n-2 



le signe supérieur ajant lieu , lorsque m est un nombre pair , et 

 l'inférieur, si 77x est impair. 



Suppl. aux Mémoires de T Acad. ■"** 



