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VII. 



DÉMONSTRATION 



D'UN THÉORÈME GÉNÉRAL RELATIF AU CALCUL 



INTÉGRAL. 



Présenté à l'Académie le 9- Oct. 1822. 



§. 1. Dans un mémoire de feu L. Euler ayant pour titre : 

 De unciis potestatum binomii earumque interpolatione (*), où l'on 

 ne s'attendroit guères à rencontrer des recherches nombieuses et 

 suivies concernant des formules intégrales et leurs relations respec- 

 tives, j'ai trouvé le théorème suivant : Le produit des intégrales ; 



I. /t° — » dx(l — or)"— « 



IL yà;P — i 3^7(1 ~ :c)"—« — P 



III. Jxy—^dxH _ a;)"— «— P — '" 



IV. fx^. — 'dxii ~ xy—''—?—y-^ 



etc. 

 prises depuis x -zzz jusqu'à x ziz. i , yarde touJour\ ht im'tnc 

 valeur, quelque permutation qvîon fasse subir aux lettres a, f3, V> 5, etc. 



§. 2. Quelque belle et même rigoureuse que soit la démon- 

 stration de ce théorème qu'on pourroit tirer du mémoire cité, en 

 la déduisant de la considération des coëfficiens du binôme, comme ce 

 seroit une source féconde à la vérité mais indirecte et dérivée d'un 

 domaine étranger, j'ai cru que ce ne seroit pas un travail tout-à-fait 

 inutile que d'en chercher une démonstration plus directe déduite 

 des principes du calcul intégral ; et quoique le sujet ne soit pas 

 d'un intérêt majeur, je n'hésite pas à présenter ici celle que j'ai 



(') Mémoires de l'Acad. Zmp. des Sciences, Tome IX, pag. 37. 



