M .15 
Theorema. 
Hae duae formulae XX-Hyy= TC] & xx 4yy =] sunt 
discordantes ,' sive impossibile est pro x et y ejusmodi va- 
-dores assignare , qui utramque. reddant quadratum , ex- 
ceplis duobus casibus x = 0 et y = 0. 
Demonstratio.: 
€ 31. Incipiamus a posteriore formula æx+Ayy, quae cum 
etiam sit summa duorum quadratorum, certe erit x —pp— qq: 
cet y = pq; tum enim fiet æx + 4yy—=(pp-+ qq}. Minc au- 
‘tem prior formula hanc induet formam: M PP gq "x ge El 
quae manifesto aequivalet huic:- (pp + qq) — 3(pq) =[]. Quamobrem, 
quo hoc fiat, statuamus pp +- qq = rr +4 35ss et pq = 2rs. Sic 
enim fiet xx + yy = (rr — 355). 
ie, 32. Statuamus porro pq = 2rs— 2abcd, fiatque 
l'es à 2 ab erit q — ed; tum vero sit r — bc, erit s — bd, qui va- 
.lores substituti hanc praebent aequationem : 
Laabb + ccdd — aacc + 3bbdd 
« aa. — 3bb— ce aa ___ ec—36b, 
unde ÉRAUIE ddr 4bb—ce? vel etiam ddr cc — 400? 
nullus divisor communis occurrat, siquidem tam p et q quam r et 
s supponantur primi inter se, tam numerâtor quam -denominator 
seorsim debet esse quadratum. Pro priore ergo ponatur 3bb<cc = ff 
ubi cum 
et 4bb— cc — gg, quae utraque positio est absurda. Quare pro 
altera formula poramus ce — 3bb— ff et cc— 4bb—=gg. Ex ista 
statim fit cc —gg+4bb, unde altera evadit ff — gg + bb, quae 
cum sint ipsis propositis perfecte similes, atque minores, manife- 
so hinc sequitur veritas theorematis. 
Corollarium 4 
f. 33. Cum isitur istae formulae xx + yy et xx + 4yy 
sint discordantes , _etiam ones ‘ejus variationes initio memoratae 
- crunt discordantes, scil. 
