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f. 11. Les valeurs de x et y, qui satisfont aux trois équas 
tions (A) (B) (C), déterminent les points doubles ou multiples de la 
courbe (A). Puis, ayant donné à x et y des valeurs qui satisfontn 
aux quatre équations (A) (B) (C) (D), on n'a trouvé que la réunion 
de deux arcs qui se touchent. Pour voir, si c’est un point double. 
avec osculation ou embrassement, ou bien un point de rebrousse- 
ment, il faut examiner, si l’une des coordonnées devient imaginairæ 
au delà de ce point: dans ce cas, le rebroussement a lieu. Si par 
ex. les valeurs x a, y —b, satisfont aux quatre équations, 
ÿ aura un point double avec attouchement, lorsque tant x—a—<+h 
que x—a—h donnent des valeurs réelles pour y (h étant une 
quantité très-petite); mais il y aura un point de rebroussement, : 
lorsque l'une des deux suppositions —a<+h et x—a—h, 
donne des valeurs réelles pour 7, tandis que l'autre n’en donne que : 
des imaginaires. 
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Après s'être assuré de cette manière, qu'il y a effective- x 
ment un rebroussement, il reste encore à examiner, si ce rebrousse- 
ment st de la première ou de la seconde espèce, c'est-à-dire, si 
la commune tangente tombe entre les deux arcs, ou du mème côté. 
Si l'ordonnée à la tangente tient le milieu entre les deux valeurs # 
réelles de y qui répondent à æx—ah, c'est un rebroussement 
de la première espèce; mais si cette ordonnée est plus ou moins 
grande que l’une et l’autre des deux väleurs de y, le rebrousse- M 
ment est de la seconde espèce. Nommant donc z l'ordonnée à law 
tangente, 7,7”, les deux ordonnées à la courbe, x étant — a+, 
et y > y”, le rebroussement est de la première ou de la seconde & 
espèce, selon que les différences y/— 2 et z — y” ont le mème. 
signe ou des signes opposés (—--—). 
. 12. Cette recherche ne peut se faire qu'en déduisant de” 
l'équation (A), la valeur de y en æ—a. Mais lorsque cette équa- # 
tion est trop compliquée, pour donner une expression directe et 
complette de y en x, alors, comme il ne s'agit que de trouver y» 
