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que Ax — 0. Il faut donc que y -+- Ay soit de cette 

 forme /x-f-XAx, X étant fonction de x et Ai- ce qui 

 donne ù - z=:X, où il faut prouver que X ne peut avoir 

 que cette forme X~ P + Q.. Aï 4- R. Ar 2 + cet. ou 

 bien A/ = P . Ax -f- Q_. Ai 2 -f- cet. Or, comme il est 

 toujours possible de donner à A/ cette forme , par l'in- 

 version des séries, tout se réduit à prouver, 1) que X ne 

 peut contenir aucune puissance fractionnaire de Ax, et 

 2) que les coëfficiens P, Q_, etc. ne sont dans aucune fonc- 

 tion égaux à zéro, à l'exception de cas particuliers. La 

 première proposition a été démontrée par La, Grange dans 

 sa Théorie des Fonctions analytiques pag. 7. 8. il ne reste 

 donc qu'à prouver la seconde. 



5. 1 6. Soit donc l'équation proposée qui exprime Ha 

 nature de la fonction ou de la courbe , celle - ci : 



(A)o = a + (3x + y y -j- §x 2 -\- exy -f- Çy* -f cet. 

 d'où l'on tire l'équation aux différences, en substituant 

 x4-Ax pour x, et y -\- A y pour y, et en otant l'équa- 

 tidn primitive (A). Or, il est clair par le théorème bi- 

 nomial, que chaque terme de l'équation (A) donne, pour 

 coefficient de la première puissance de Ax ou Ay , une 

 fonction de x,y, moins élevée d'un degré que ce terme; 

 pour coefficient de la seconde puissance des différences» 

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