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ctkwi V de I, /, non pas immédiatement par la nature 

 du cylindre, comme Arcliimède l'a fait, mais par une ana- 

 lyse qui s'applique également à tous les corps. Si l'on 

 connaissait le rapport différentiel de cette fonction ^ , 

 qui est indépendant de la grandeur des différences Ar, 

 on en trouverait facilement la fonction V même par l'in- 

 tégration vulgaire; et on aura moins de difficulté de trou- 

 ver , par des considérations géométriques , le rapport des 

 accroissemens || \ que le cylindre S même. Or, ayant 

 trouvé la valeur de || exprimée par x, y, il est évident 

 que cela ne peut être que la fonction qu'on aurait obte- 

 nue, en différentiant V de la manière ordinaire, parceque 

 l'une et l'autre eût été trouvée d'après le même principe, 

 et qu'il est impossible que S ou V soit égale à deux dif- 

 férentes fonctions. Il s'agit donc, d'exprimer AS par x, 

 y, Ax, Aj, d'après les élémens de la géométrie, ce qui 

 donnera en même tems || 3 et par l'intégration V=/dS. 



Soit DCENPM la base d'une partie quelconque X 

 du demi-cylindre dont la base est le demi-cercle DCEAD, 

 de manière que MN/ipm est la base de AX. Or, ayant 

 mené CA, M;x, mq, Nv, nr, perpendiculaires à DE, on 

 obtient fes ,ngles Uv £= 2/ . Ax, mr — 2 (/— A/) Ax, 



et leur » ~.c-nce., savoir la somme des deux rectangles 



