— 20 — 



en applications, des mathématiques pures. Pour discuter les surfaces ou 

 les courbes, dit notre auteur, on se contente, dans la géométrie analy- 

 tique, d'étudier leurs équations; ce qui fait qu'on ne prend en considé- 

 ration que les points situés sur les surfaces mêmes ou sur les courbes, 

 et qu'on rejette tous ceux qui se trouvent en dehors de ces étendues. 

 Or , il a paru important à M. Ostrogradsky de ne pas négliger ces 

 derniers. Ils appartiennent aux figures découpées par les surfaces ou 

 les courbes que l'on discute, et il est manifeste que la considération de 

 ces figures doit aider dans la discussion des coupes mêmes qui en sont 

 les limites. Une surface ou courbe est donnée par son équation que 

 Ton peut toujours ramener à l'égalité à zéro d'une fonction des coor- 

 données. Cette dernière , nous l'appellerons , pour la commodité du 

 discours , fonction de la surface ou de la courbe , selon ce que l'on 

 discute. Notre géomètre ne se contente pas de considérer les coordon- 

 nées qui rendent zéro la fonction dont il s'agit; il fait attention, en outre, 

 à celles qui font acquérir à cette fonction des valeurs positives ou né- 

 gatives , et qui appartiennent aux points situés en dehors de l'étendue 

 que l'on considère. Il est manifeste que la fonction d'une surface change 

 de signe chaque fois qu'on traverse la surface. Ainsi, elle acquerra deux 

 valeurs de même signe pour deux points situés en dehors de la surface, 

 quand il sera possible d'aller d'un de ces points à l'autre sans traverser 

 la surface , ou en la traversant un nombre pair de fois. Au contraire, 

 les deux valeurs dont nous parlons auront les signes contraires , s'il est 

 impossible de faire le chemin , dont il s'agit sans rencontrer la surface 

 un nombre impair de fois. L'inverse de cette proposition subsiste éga- 

 lement. La discussion des diverses conséquences, amenées par la con- 

 sidération des fonctions , relatives aux surfaces ou aux courbes , forment 



