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Les équnlions entre les fonctions ge'ne'ialrices auront 

 lieu en repassant aux coefficients de ces fonctions, et 

 re'ciproqucruent. Mais dans le passage on doit observer 

 les règles ci-dessus au lieu de celles deLaplace; ces der- 

 nières conduisent souvent à des résultais insoutenables. 



Supposons, par exemple, 'qu'on ait une équation à 

 différences finies 



= flv.,. + a, y^^, + a„ 7„^, H Va, ;„^. „ 



a, a,, flj ff„ étant des constantes. En passant aux 



fonctions génératrices à la manière de L:. pince, on trouve 



ou 



e'quation qui détermine la variable t. Or cette variable 

 doit> par sa nature, rester complètement indéterminée. 

 Mais si l'on observe dans le passage aux fonctions gé- 

 nératrices les règles ci -dessus, on trouvera 



d'où 



'•nro+("n-!.'"o+"«/i)'-^ — l-("5ro+"3.»-i+- •+",,/«-2''"' 



+("--ro-f'';v,+--+",.y,.-/'"' 



«. + "„-'+•••".'"-■+«'" 



11 serait facile de trouver la fonction génératicc de la 



quantité j^. dciinie par l'équation 



A,^^,À^ — comme «, o, étant des constantes. 



Eq effet il n'y aurait qu'à égaler la fonction généra- 

 trice de oy„-\-a,y„_^,-^ -^"nj'r. + u à celle de 



A -\- A^x -j- A^x'A^ Or la première est (a -f 7 



et la seconde est facile à trouver puisque, généralement, 

 la fonction génératrice de z"' est 



On a fait pour abréger 

 5,- 2"'-(™-}-l) 



B^ — 4' 



(«-f 1) 3" 



"^n 



(«l-|-l)//, 



2"'- 



(m\\.)m[m-X) 



B^ = 5'"- («—0 ^"'^t+}Ï!l3'"Jj2±ll!;!^';ill2" 



1.2 " i-a-5 



■ (<«-|-;i)m(»i-l)(//i— 2) 

 "^ 1 • 2 • 3 • 4 



Ih - V- (/«-f 1) (^-l)"'-f ^,^ {h - 2)" 



(Hi-f-l) m(in — l) 



(A-sr-f 



+ (-1) 

 + (-1) 



1.2-3 



^ (ni -\~ i)ni y/f ~ J ) • • • ( «i — 1 



+îl(y^-,)'»-|-. 



/._! ('"-fO "'('" — ■■■(n4—/i-\-i) 

 1-2-5 X-1 



Je considère ensuite les diverses formules d'interpola- 

 tion contenues dans la Théorie analytique (page 13 et 

 suivantes), mais dont la démonstration doit être changée 

 ou complétée en vertu de ce qui précède; je donne ces 

 démonstrations, et je lais voir dans quel cas on peut 

 se contenter de compléter celles de Laplace, en prouvant 

 que les termes que j'ai introduits dans les fonctions gé- 

 nératrices des/„_^j,/„^3- •■ Jx„, jy„ — se détrui- 

 sent mutuellement. 



Je parle aussi des fondions génératrices à deux va- 

 riables où il y a des remarques à faire, analogues à celle 

 qui sont relatives aux fonctions génératrices à une seule 

 variable, ainsi en désignant par u une fonction de / et /'gé- 

 nératrice de j^ ^y, la fonction génératrice de 7_^^_,^' sera 



"— Jo.o— J'o.i^— yp.a''''— '"'• 



ro,o-r,,o' — ra.o^' — etc. 



sera 



celle de /^_^_^., 

 ainsi de suite. 



En faisant usage de ces formules, la fonction géné- 

 ratrice de la quantité y^ ^/ donnée au moyen d'une 

 équation telle que 



4- AXx.x'-H. + ^. Jx+^,x'-h> -r ^a^x-i-^, x'-hi+- ■ Ç _o 



rx-i-i, x'-hi ■+-^2rx-h:>,x'-hr\- • 



ou même telle que 

 -\-cy^y-i.2+^,yx-hi,x'-hi+'^^x+2,x'-t-^+- 



+ 



se trouve avec la plus grande facilité, en supposant 

 toutefois que a, a,, a^, b sont des constantes. 



