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on pourra, en faisant jiour abréger: 



(5) 





ip.,— Cp_,-a„ 



leur faire prendre celle autre forme: 



(6) '■;+«.^ '+•••■ +''«-,'•; 



Alors, pour en e'iimincr d'abord la quantité' /'„_,> 

 on n'aura qu'à soustraire, de la première de ces équa- 

 tions, successivemenL les {p — 1) suivantes. Puis, di- 

 visant la première des équations résultantes par r-r^, 



la seconde par r^ — r^, et ainsi de suite, et désignant 



/" 

 généralement par S la somme de tous les produits 

 I, '■•••^ 



de la forme r", t^, r'j---;'^ , et dont le nombre des 



facteurs, a -\- ^ -\- y -\- — H-tIj ^oi' cg"*! ^ m, de 



sorte que: 



("7) S = S[r\r\...-,n 



on obtiendra (p — l) équations de la forme: 



(8) 5-|-0,i'-f -i-Or,-,^^ 



OÙ la lettre « devra, successivement, être remplacée par 

 les nombres 2, 3, — p. 



En opérant de la même manière sur les {^p — 1) 

 équations (8), puis sur les (/? — 2) équations qui en 

 résulteront, et ainsi de suite, on parviendra enfin à 

 cette seule équation : 



(9) 5 -fa, 5 H Va S—k — c — a„_^^ 



d'ovi l'on tirera: 



(10) c= S -f fl. 5 H \-a S 4.fl„_ 



Si, avant d'exécuter les soustractions mentionnées, 

 on multiplie la première des équations (6) par r,, la 

 seconde par r^, etc., le procédé que nous venons d'in- 

 diquer conduira finalement à celte équation: 



(11) 5 -+-0. s H- 



-^""-P. 



5 =/^ 5 4-/f, 



Le même mode d'élimination étant encore appliqué 

 aux équations (6), après en avoir multiplié la première 

 par ;'|, la seconde par r^^, etc.; puis, après les avoir 

 multiplié, respectivement, par z',, r'^, r'^, etc.; puis- 

 par r*, , r^j, r*3, etc., et ainsi de suite, on obtiendra, 



en écrivant, pour simplifier, 5 au-licu de S , les. 



relations suivantes: 



c, =: 5 [0^ '-^z. J — c S. 



',", 



p 

 etc. etc. 



■p 'K 



Or, les expressions 5_ étant toutes des fonctions sy- 

 métriques des racines de l'équation fx =:: 0, il doit 

 être possible de les changer en fonctions des seuls 

 coefficients, l>i) b^,--- b-, de celte même équation. En 

 effet, on peut prouver que 



{iZ)S.z:zSlr\r\...r'\ 



"P ^ L- 1 ■ a p 



I 2 



4- 9 H 



= s [(-1 )-"-*-* 



p 



b'h' 





• -\-pi ZZ m 



a + (. + , 



I 2 



a -}-aj -f- 



et c'est au-moyen de celle proposition qu'on parvient à» 

 tirer des relations (12) les formules suivantes: 



*) Dans loulcs les expressions de la forme J [fond. Q, b, f..** 



A, Qf U, .'-It les caractérisliques Q, ^, etc. désignent successiTemenl 

 O, J, 3, S, etc., en silisfaisaDt à la fois aux r</ualions de condiliuii- 



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 (telles que + *•• "f '" "F " ' " • ^^ "'i o" aulreJ), placées immé- 

 diatement au-dessous de ces expressions, que Ruihe a nommées des- 

 aggffgats comb'tnatuires. ^ Les earactéristiques de la forme n.', oVu 

 n désigne généralement un nombre entier positif, remplacent des pr«>- 

 duits tels que l-a.S.-.n. Pour le cas particulier de n ^ o, il faul 



prendre o! — 1. Enfin, quant aux expressions (i-l)'. (*+••■+ «)• 

 qui entrent dans les formules (14) et (15), il faut, à cause de- 

 jl .J. Q -|- . |-'a z= (i, de même les égaler à 1 dans le ca» de t ^Ot 



