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BULLETI-N SCIENTIFIQUE 

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sclieint es mir notliig , dass Hcrr Mëiiélriès seine Ab- 

 liandlung noch mit einer bilJlichen Darslellung der 

 interessantern Formen ^icsehe 



^rse 



N O T ^S. 



4C. BeITRAG ZliR ANALYTISCHEN GzOMETRIE ; \0y 



H. BRUUN, ehf.ma;^ Prof, am Lyceum Ri- 

 chelieu IN Odessa (lu le 1 2 mai 1831). 



Ç 1. In allen Lehrbiiciiern der analytlschen Géométrie 

 ■vermisse ich einen Lchrsatz, der igir, in Beziehung 

 auf die Bestimmung der Linien zweiler Ordnung durch 

 gegebene Puncte, von Wichtigkeit zu seyn scheint. — 

 Kur ein besondrer Fall desselbcn, der Glcichung dleser 

 Linien bezogen auf ibre conjugirten Durchmesser ent- 

 sprechend, wird gewbhnlich und aucb dieser unvdll- 

 st'àndig abgehandelt. 



Der allgemeine Lehrsatz ist folgender: 

 Ein Punct (jr', y') liegl ausserhalb oder innerbalb der 

 Linie zweiter Ordnung 



f-\-2Bx)'-{.Cr'-}.2Df-\-2Ex4-F=zO (1) 



1) wcnn sie eine Ellipse oder Parabel vorstellt, je 

 nachdem: 



j>''+2Bxy+ Cz"+ 2Z)/'4-2£'x'+ /-$ ist 



2) wenn sie eine Hyperbcl vorstellt ^nd 



à) wenn derjenige Durchmesser, welcher dem der 

 Ordinatenachse parallelen Durchmesser conju- 

 girt ist, die Hyperbcl schneidet, je nachdem: 



/'+25xy+ Cx"+ 2/y-}-2£'x'4- F^ îst 

 à) wenn dagegen dieser Durchmesser die Hyperbel 

 nicht schneidet, je nachdem: 



y'-\- 2Bxy'-\- Cx"+ 2£»/+ 2Ex-\- Ff ist. 



Beweis, 

 Es sey: y z= ax -\- b (2) 



die Gleichung einer beliebigen Geraden, so ist dièse 

 eine Tangente der Linie (l) wenn folgende Bedingungs- 

 gleichung Statt lindet: 



{B'- C) /5'4- 2 (E—BD) ab J^{ir — F) û^+ 

 1 (BE- CD) b+2 (DE—BF) a + £^- CF=: o 



^ist 



• 



(3) 



oder wenn: 



ab'-\- 2ftab -f- ya'+ 2d/i -|-2£fl -f- y : 

 Nachdem man der Kiirze halber 



B'- C~a, E,-BD—p, D^-F=:y, BE-~CD=zâ, 

 DE-^BF—i, r—CF-(o (4) 



geselzt bat. ^ * 



Woraus umgekehrt durch Icichte Umformungen sich 

 folgende Glelchungen ergeben : 



— B 



. ac—,iS 

 ' P' — ay 



C- 



-aip 



D. 



.,"''->■» 



-ay 



^ —p^-ay' ^ —p'-cy W 



Geht nun die Gerade (2) durch den Punct (x,_y), so 

 ist bzz. — ax'-\~y u^ es verwandelt si^ (3) in 

 fl" («x"— 2/3x + }')^ 2a («xV— /9/+dx'— e) 

 * %y"a-^2d/-^<p-0. 

 Wir erhalten somit réelle oder imaginare Werthe lïir a; 



durch "^x', y) sind Tangenten mog^h, oder nicht; 



(x', j') liegt ausserhalb oder innerhalb der Linie zwei- 

 ter Ordnung; 



je nachdem: ^ 



(«x'j'- /9j'+ dx'-, £)'_ (j-«+2(!r/4-q,) 

 p (ax"—2(ix'+y)^0iH; 



oder entwicltelt, je nachdem: 



(ir-ay)y'-2(ae-!3â)xy+(â'-acp)x'^ 



+2(iiE-yâ)/-2iâe-(i<f)x'-\. e--yif>0 \sv, 

 endlich, wegen der GlelAungen (5), je nachdem: 

 (^'-ay)[j"-\-2Bxy-\-Cx"+2Dy-\-2Ex^] $ dist. 



1. Fiir die Ellipse und Parabel ist aber /î' — ay 

 immer > 0; somit (x', j') ausserhalb oder i^^rhalb, 

 je nachdem: • 



y '4- 2Bxy-\Mx"-{- 2Dy+ 2Ex'-\- F>. ist. 



2. Fiir die Hyperbfl ist fï' — ay'^0, wenn die Hy- 

 perbel die Gerade r -1- Bi -4-^ ■=: schneidet; und 

 dann liegt (x ,y ) ausserhalb oder innerhalb, je nachdem: 



y^-f 2Bxy+ Cx'^-f 2Z>y4- 2iu'+ f> o ht. 



Schneidet aber die Hyperbel die Gerade y-\-Bx-\-D 

 = nicht, so ist /S' — «)'■<# und dann findel der 

 umgekehrte Fall Statt. * 



