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Bulletin scientifique. 



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Die LinieÇ 1 (1), 9 (^j) =^ 0, llieilt «lie Ehçpe in 



$ 1. 2ler lieweis, 

 Jnie S 



iwfi ThWe, so das* fiir aile Puncte des cinen*Thcils 

 ip(x,))<^0, fiir aile Puncte des andern y(x,j)>0 ist. 

 Mil Hulfe dièses Iricht zu erweisenden Satzes, erlial- 

 ten wir fuIgenJcn einlaclien lîeweis. 



Es sey ) m ax die Gleichung ciner durcli den An- 

 fangspuiict gehendyi geraden Linie, so ist dièse eine 

 Tangente, wenn 



)'a'-|- 2ta -\-tpzz:0 ist. 

 Wir erhallen somit réelle oder imagiiiare Werthe fiir 

 a, d. II. dcr Anfaiigspunct licgt ausserlialb Ver inner- 

 halb der Linie zweiter Ordnung, je nachdem 

 e' — (py 5 ist> 

 d. 11. je nachdem F(j3^ — «}') < '«'» 

 somit auch jeder andere l'unct (j', y') ausserhalb oder 

 inw'halb, je nachdea 

 (/*'-«)') 0'"+2Bxy+ Cx"-\- lDy'\ 2Ex\F)'^Q Jst. 



$ 3. g^ ergeben sich nun auch die folgenden beson- 

 dern Faite: # 



1. Es sey a'/'-j-^'j:'— n'i'^ die Gleicliung einer 

 Ellipse, bezogen auf conjugirte Durchmesser, oder a j' 

 Zt lah^x'-\-b''xz:^Q, die Gleichung derselben, bezogen 

 auf einen Duri-hmesser und die Tangenle im Scheilel, 

 80 liegt ein Punct (2 , j ) ausserhalb oiler innerlialb, 

 je nachdem im 1. Falle 



aVH^V— Û^A'>0 ist; 

 im 2. Fallc: 



ay ± 2ûZi'x'+ <5V' 5 \a. 



2. Es sey y'-\-2px ■:^ die Gleichung eiticr Parabcl, 

 soWg;t {x',y') ausserhalb oder innerhalb, je nachdem 



y"'-\r2px'\0 ist. 



3. Es sey a^j' — b'x^-\-d.'b'^ z::. 0, die Gleichung ciner 

 Hypeibel brzogen auf ihre conjugirten Durclimesser, 

 oder a'y'-\~'lab''x' — ^'jr'^O die Gleichung derselben 

 bezogen au! einen Durchmtsser und die Tangente im 

 Scheitci (wo in beidcn Fallcn der zur Abscissenachsc 

 genommene Durchmesser die Curve schncidel), so liegt 

 ein Punct {x',y) ausserhalb oder innerhalb, je nachdem 



ini ersten Fallc: oj" — ^V-J-a'^'jO ist, 



— twriten — ay"'-\-2ab*x-b''x"' \ ist. 



■4. Es sey U'y' — a'x' — à'b' m die Gkicliung eincT 

 Hvjjerbel bezogen auf conjugirte Durchmesser; oder 

 b''y' — a'jr* — 2a'bx — 2a'^' m die Gleichunjr der- 

 selben bezogen auf einen Durchmesser, und aul eine 

 durch den Schcitel dièses Durchmessers dem conjugir- 

 ten Durchmesser parallcl laufcndc Gerade (wo in beidcn 

 Fiàllen der zur Abscissenachsc genommene Durchmesser 

 die Curve nichl schneidet), so liegt ein Punct (x', v') 

 ausserhalb oder innerhalb, je nachdem 



im 1. Falle by"—a'i"— a'b'<0 ist, 

 _ 2. — bY—a"x^—2à'bz—2b'a'<0 ist. 

 Anmcrkung. 



Aile dièse besondern Fâlle lassen sich einzein, seibst 

 ohne Anwendung der Tangentengicichung beweiscn, und 

 dann erhallen wir leicht durch Verwandiung der Coor- 

 dinaten einen dritten indirecten lieweis des allgemeinen 

 Lehrsatzes. 



S 4. Wenn in der allgemeinen Gleichung die CoëfG- 

 cienten von y'' und x'mO sind, d. h. wenn sie eine 

 Hyperbel vorstellt, deren Asymplotcn drn Coordinaten- 

 achsen parallel sind, und also auf die Form 

 xyJrDy-\-Ex + F — 



gebrachl wcrdcn kann, so ist es nothig die l'ntcrsu- 

 chnng von ncuem anzustellen. — Es ergifl)t sich dann 

 leicht, dass ein Punct (x',y) ausserhalb oder inner- 

 halb, je nachdem 



(F-ED) {x'y'^Dy'-\.Ex'-JrF)%0 ist. 



Ist aho: xy-\-F-=:LO 



<lie Gleichung einer Hyperbel bezogen auf ihre Asymp- 

 loten, so liegt ein Punct {x ,y') ausserhalb oJer inner- 

 halb, je nachdem 



F{x'y'-\-F)>0 ist. 

 Liegt die Hyperbel im 1. und 3. der von den Asymp- 

 toten gebildelen Scheitelwinkel, so ist F eine négative 

 Grosse, somit (x', v') ausserhalb oder inneihalb, je 



nachdem 



xyjf-FiO ist. 



I iegl die Hypribrl im 2. und 4. der von den Asymp- 

 tolen gebildeten Scheilelwinkel, so ist F eine positive 

 Grosse, und (x',y') ausserhalb oder inmrhalb, je nach- 

 dem x'y'-\-F^O ist. 



