279 



Bulletin scientifique. 



280 



^ § 5. Anwendung des Lehrsalzes ^ 1 nul 

 eine besondere Aufgabe. ^ 



tàufgabe: 



In eincr Ebene sind fiinf Puncte gegcben, von dcnfn 

 Veine drei in eincr Geraden liegen. — Die Art der Li- 

 nie iweiler Ordnung zu beslimmen , welcbe duich die 

 fiinf Puncte bescbrieben werden kann. 



VVir konnen bekannter Mnassen 



/-+- 2Bxy -f Cx'^lDy -^2Ex-\~F—0 

 als die Gleicbung aller Linien zweilcr Ordnung, welciie 

 durcb vier gegobcne Puncte geben, belrachten, wenn wir 

 C, D, E, /^constant, B allein veranderlich annehmen. 



Wir erhalten somit fur dicjenige Linie zweiier Ord- 

 nung, welchc noch durcb den fiinfien Punct (x'.j') 

 gebt, zur Beslimmung von B die Gleicbung: 



„ (/'4- c-t'' - \-2nr'+ a Hx'+T'') 



~~ aj'/ 



Es isl aiso auch: 



Die verlangte Curve somit eine Ellipse, Hyperbel oder 

 Parabel, je nachdem der Zaliler dièses Ausdrucks ■< 

 oder >• ^: ist. 



Wir erbalten insbesondere als Gleichungen der bei- 



den durcb die vier ersten Puntle gebenden Parabeln, 



der 1 . ;■ '+ 2 VCxy + Cx"+ 2Dy -\- lEx -[- F — 



— 2. y''—2VCxy-^Cx''-\-2Dy-^2Ex^F=0 

 Der Piincl (jr',/') liegt somit ausserbalb, innerhalb oder 

 auf der 1. Parabel, je nacbdera 



y"^2VCxY'-{-Cx"-\-2Dy'-\-2Ex-^F^ isl; 

 ausserbalb, innerbalb oder auf der 2. Parabel, je nacbdem 



y—lV Cx'y'^Cx"'-]-2Dy'+2Ex^F%0 ist. 

 Et liegt also endlich (x', j) 



1) ausserbalb beider Parabeln oder innerhalb beider 

 wenn: 



(y'^^Cx'^2Dy-^2Ex'-\-Ff— At'ycyo 



und dann a"> 

 '2) {x',y') ausserbalb der einen, innerhalb der an- 

 dern Parabel, wenn 



(^y^+Cx^^ 2Dy'+ 2Ex^F'f-'ix'fC< 0, 



und dann a '< 



3) (x ,y') auf eincr der Par^Wn, wenn 



(/'■^C-y 4-2Z>/+ 2Ex'^f- 4x'y^C = 0, ^ 



• und dann xrrz 



Somit erbalten wir folgende Auflosuni', 



Unler den fiinf Puncten lassen sicb immer vier aus- 

 walilen, von denen jcder ausserbalb des von den drei 

 andern gebildelcn Dreiccks begl. — Es se y dièses gesche- 

 hen, und man bpschrcibe Jurcb solohe vier Puncte zwei 

 Parabeln, was immer moglicb ist (sielie den folgend. §i). 



Liegt nun der fiinfte Punct in einer dieser Parabeln 

 serosl, so isl dièse Parabel die Linie zweiter Ordnung, 

 welcbe siW durcb aile fiinf Puncle bescbrciben lasst. 

 Liegt der Punct innerbalb beider Parabeln, oder ausser- 

 balb beider, so ist die Linie zweiter Ordnung eine Hy- 

 perbel. Isl er dagegen iiinei lialb der einen und ausser- 

 balb der andern bcfindlich, so liegt er mit den vier 

 iibrigen in einer Ellipse. • ^ 



§\ 6. Das 1. Capitel des III, Abscbnilts im Barycentri- 

 scben Calciil von Moebius (Beslimmung eines Kegel- 

 scbnills durcb gegebene Puncte) enthalt ausser dieser 

 AufgaDe, nocb einen Lebrsalz. Der Vollstiindigkeit 

 lialbcr gebe icb hier auch einen rein analytiscben Be- 

 weis desselben, obgleicb er vom Lehrsalze § 1 un- 

 abh'dngig ist. 



Lebrsalz. 



Haben vier Puncle in einer Ebene eine solcbe Lage 

 gegen einandcr, dass jeder derselben ausserbalb des 

 Dreiecks, welcbes die drei andern bilden, befindlich 

 isl, so lassen sicb durcb sie sowohi Ellipsen als Hy- 

 perbel n und zwei verscbiedcne Parabeln bescbrciben. 



Liegt aber einer der vier Puncte innerhalb des^on 

 den drei andern gebildcten Dreiecks, so konnen durch 

 sie weder Ellipsen noch Parabeln, sondern bloss Hy- 

 perbeln gefiihrl werden. 



Beweis. 

 Es sey /+ 2Bxy-\- Cx'-f 2Z)/-f 2£'x-f F= 



die allgemeine Gleicbung eincr Linie zweiter Ordnung. 

 Die Coordinalen des Punctes 0'ZZ.o,o, des Punctes 

 Mz=: a,o, des Punctes Nz:=. o, b. OM die Axe der A, 

 und zwar der positive Tbcil derselben, ebenso ON Atr 

 positive Theil der Acbse der Y, so erhall man (wegen 

 folgender Bedingungsgleichungen F'ZZO, J?=l— -j, 



