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Bulletin scientifique. 



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/(a, ,u) et Je J(a^"'\ |), })ourioiil èirc ou diriéiciis 

 ou identiques. 



(', Quant au premier <le ces deux ras, i! est dviJeiU 

 qu'alors il doit exister, entre « et «'"'*, une valeur de 

 or, au-moins, qui, conjointement avec j r:i r, satisfasse 

 à l'équation J(j^, y) r: 0. 



Si^ au-contraire, /(a, v) el /(a''"'\ v) sont de même 

 signe, le signe dey(«,(i,) sera ojjpose' à celui dej(a^"'\ v): 

 ou bien, le signe de /(a, r) oppose h celui de /(«'"'',!). 

 Or, puisque u el v ne doivent pas comprendre de va- 

 leur re'elle de v dans l'e'qnalion y"(«''"', j) :^ 0, ni r 

 el I en renlerm.cr une dans Ic^ualion _/(«. r) :^ 0, il 

 faudra que tant /(«''"',/<) et /(«*'"',!'), que f{ot,v) 

 el f(a, I) aienl les signes identiques. Par consc'qucnt, 

 tant /(«,,«) et f{a''"\n), que /(«, |) et /(a'"", i), 

 seront de signes contraires. Donc il y aura, dans ce 

 cas, entre a el «*""', deux valeurs réelles de x, qui, 

 l'une avec/zz:u, l'autre avec ^nz^, formeront deux 

 couples de racines conjuguées réelles de l'équalion 

 f{x,y)-0. 



Reste encore à considérer le cas, à la vérilé très 

 particulier, dans lequel ri rr ,'î""'. 



Pour ce but, renfermons /9 entre deux limites, ji et J 

 si étroites qu'elles ne puissent comprendre, outre (i, 

 d'autre valeur réelle de r, capable de satisfaire h l'une 

 ou \ l'autre des équations /(a,y)—0, J{a}'"\ y)—0. 

 Alors, 'tant /(«, ^) et /(a, j) que /(a^'"', it) et 

 y"(a''"', I) seront de signes contraires. 



Quant aux signes de f(u,u) et de _/(«*'"',,«), ou 

 bien de /(«, $) el de /(«''"', i), la supposition de 

 leur inégalité donnerait évidemment lieu à deux valeurs 

 réelles de x, comprises toutes les deux entre a et a'"'', 

 et qui, l'une avec y ir: /(, l'autre avec yzzii^, fourni- 

 raient deux couples de racines conjuguées réelles de 

 l'équation /(x, )') :^ 0. 



Si, au-contraire, on suppose identiques les signes de 

 /(a, u) et de /(«*'"', //), donc aussi ceux de /(«, I) 

 et de /(«'"'*, I), nous pourrons, par des raisons 

 analogues h celles que nous avons alléguées ci-dessus 

 relativement à /5 el /?*""', supposer en même temps a et 

 a*""' si proches l'une de l'autre qu'elles ne puissent, 

 pour yzn/i oa à tout autre nombre intermédiaire entre 

 j(* el I, limites de (i suffisamment resserrées, comprendre 

 de valeur réelle de i dans l'équation /(x,y) =; 0. 



Cela posé, il faudra qu'en désignant par y un nombre 

 quelconque intermédiaire entre a el et*'"', /(/, u) el 

 /(y, f) soient de même signe, et que, par conséquent, 

 ou J (a, u) et f(a^"'\ u) aient le signe opposé à celui 



'^'^ /('/> ,")' <"" y («> cl /(«""') v) l'aient opposé à 

 celui de /(y, |). On obtiendra donc, dans ce cas, ou 

 deux valeurs réelles de x, intermédiaires entre « et a'-"'\ 

 et formant, l'une el l'autre avec y ::z /(., deux couples 

 de racines conjuguées réelles de /(x, y) zzzO', ou deux 

 valeurs de x, également entre a et «'"'*, el satisfaisant, 

 chacune pour j:r:|, à la même équation. 



11 s'ensuit de tout ce qui précède, que, lorsque 

 /(«, /5) = et /(«*'"', /i'"") =z 0, il existe, dans tous 

 les cas imaginables, toul-au-moins une valeur réelle, 

 x:iza'''\ intermédiaire entre u et «^"'', et nécessitant 

 la co-cxislence d'une valeur réelle j =:/3*^*, telle qu'elle 

 formera, avec x =: «^''', un couple de racines conjuguées 

 de l'équation /(x, y) ■^z 0. 



Or, pouvant répéter le même raisonnement tant pour 

 f{a,p)-0 et /(a'^',,?(^') = 0, que pour/(«'^'„^"'>) 

 =:0 et /(a*'"', ,/?""')=: 0, ainsi que pour toutes les 

 nouvelles combinaisons qui en naîtront successivement, 

 il faudra finalement en conclure, que les valeurs pri- 

 mitives, x^a et X z=. a*'"*, renfermant une infinité 

 de valeurs intermédiaires, et parmi elles toute valeur 

 de X prise arbitrairement entre a et «'"'*, il existera, 

 pour chacune de ces valeurs, sans exception, une va- 

 leur correspondante de j, également réelle et qui sera, 

 de celle de r, la racine conjuguée dans l'équation 

 J{x,y) = 0. 



Théor. IL Soient y (r,j) el F{x,y) deux fonctions 

 entières de degrés quelconques, et «, S et «^"'*, /î'""* 

 deux couples de racines conjuguées de l'équation 

 f{x,y)zrzO, dans lesquels les deux valeurs au-moins 

 de l'une des variables, par ex. x zz « el x r:z a*""*, 

 sont réelles et inégales. Si ces mêmes deux couples de 

 racines, étant successivement substitués dans l'autre 

 fonction, F(x,y), en (ont naître deux résultats, F(a,ft) 

 el F(tt'^'"\ /S'""'), de signes contraires: il existe, entre 

 « el «*""', au moins une valeur réelle de x, qui, con- 

 jointement avec la valeur correspondante de y, résul- 

 tant de l'équation /(x, y) z=. 0, formera également un 

 couple de racines conjuguées de l'équalion F(r,j)rz:0; 

 pourvu qu'on se soit assuré que toutes les valeurs de x. 



