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Bulletin scientifique. 



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dont la séparation en fera naîlic une loijclion de de- 

 grë pair, il sufTira de se borner ici au seul cas où n 

 de'signe un nombre pair. 



En conse'quence, faisant n zn 2m et désignant, ge'ne'- 

 ralement, par n^. une expression de la forme 



nfn— t)(n— 2) (n—r-f-l) 



1 . 2 '• !S . . . . r ' 



le théorème du binôme, e'tant applique' aux formules 

 (1) et (S), nous fournira: 



/ = (2 V'"-'+ (2m), p^-'ç + +2m ■pq'"-') 



H-fl"[(2/«-2) /'"-'+ (2m-2), p-'"-'q^ 



-\-(2m-2)pg"'-']+ +«(""-> (o) 



U--(p^-q)[{{2m-±)p-^-'+{2m-i),p-^-*q+. • • + 9'"-') 



4- à((2m-2) p'""-^-\- (2m-2), p""-'g-\- 



H- {2m-2) pq'"~'')-\ [-«'"""'*] +o^""> (10) 



Ibrmules qui pourront être e'crites ainsi: 



-f-%r'+(2-i),(,^rv 



4- (2/72-1))^""-'+ -fo^'--'' (11) 



+ (2^-l));,-+«'((2;.-2) (^rV (2^-2), (X)-' 



+..•+(2/72-2)) ;7 ""-+... 4- a^""-'V] +a'""' (12) 



et puis, en faisant ^-^ h, ou bien qzz ftp'^ : 



t = (2i72^'"-+(2 w), ^-"-^ + 2ra) jT'-' 



+ a'(i{"^'+ (2»2-l), ^'"-'+ • • • ■ + (2in-l)) /^""-^ 



+ a"((2772-2) ^'"-'+ {2m-2)^ ^'"-'+ 



+ (2/72-2)) p""-^-\- 4-fl^=""-) (13) 



« = (^-1) [(^—-f- (2//2-l),/{'"-'4-. . .-H(2.-72-l))/."" 



4- fl'((2/72-2) /^'"-'+ (2/72-2)j A'"-'4- 



+ (2/72-2))/'"- +a"(^'"-'-H (2/77-3),-^'"-' 



_| |_(2;„_3))/'"-^+....+a<""-'y] 



+ «<"">. (14) 



Ces deux formules donnent lieu aux suivantes re- 

 marques et conclusions: 



1) Relativement à la variable p, la fonction / sera 

 toujours de degré impair, la fonction u toujours de 

 de degré pair. 



2) Si m est impair, la fonction u sera, relativement 

 à h, de degré impair: il y aura donc alors, pour toute 

 valeur réelle de p dans l'équation w^Q, au -moins 

 une valeur réelle de ^. 



3) Si 771 est pair, et que pour simplifier, on sup- 

 pose d -ZZ-Q, — supposition qui ne porte aucune at- 

 teinte à la généralité de notre démonstration, — on 

 pourra remplacer // par la fonction i''z2mu—(Jt-i)p!, 

 parce que pour t'iz:0 et t::^0 on aura également //=0. 

 Or, obtenant alors: 

 / = {2mk'"-'-\- (2m), r-'-^ -f2'77) p'""-' 



a"((2m-2) /{""'-f -f (2/72-2)) p""-'-{- 



+ «<='"-■) (15) 



.' — (i-i) [(2 {2m), /?'"-'+ 4 (2/77), /^"-V 



-f (2/72 — 1)2772)//""+ a"(2k'"-' etc.) /"■-=■ 



- fl"'(/}"'-'etc.)/7'"'-'-- -a<^'-V]+2/77rt<'"" (16) 

 la fonction <> sera, relativement h fr, de degré impair, 

 de sorte qu'il y aura aussi, pour toute valeur réelle de 

 p dans l'équalion cmO, au-moins une valeur réelle de ^. 



4) Les polynômes 



2/n^'"-'+(2/n)j^'"-V +2/72 



i'"-' + (2m-i)J'"-'-\- +(2/72-1) 



2 (2m), r-''+i(2m),i'"-^+ ■ • +(2/72-2) 2m 

 par lesquels sont, respectivement, multipliées les plus 

 hautes puissances de p en (13) et (15}, en (14) et en 

 (16), prennent, pour toute valeur positive de ^, des 

 valeurs également positives. 



5) Par conséquent le multiplicateur de p'"", tant en 

 (14), c'est-à-dire: 



(^_1) (^'"-• + (2/72-1),^"'-''+ •••+(2/72-1)) 



qu'en (16), c'est-à-dire: 



(k-i)(2(2m), /!"--'+ 4 (2/72) , -f "■-'+ • ■ ■ + (2m-2) 2m) 

 sera, pour toute valeur positive ^ ^ -/ < 1, négatif, et 

 pour toute valeur ^ 1= x' >• 1 , positif, 



6) Quels que soient, quant à leur grandeur et à leurs 

 signes, les coëfficiens a', a", a", etc. de la fonction 

 donnée fx, il sera toujours possible de trouver pour 

 p une valeur absolue P si grande que, tant le terme 

 affecté de la puissance /"'"' en (13) ou en (15), que 

 celui qui renferme/"" en (14) ou en (16), deviennent 

 à -la -fois, le premier pour toutes les valeurs de i de- 

 puis y. jusqu'à x', le second pour ^ = x et ^ =z x', 

 quant à leurs valeurs absolues, plus grands que, re- 

 spectivement, la somme de tous les termes suivans. 



