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Bulletin scientifique. 



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Jusqu'à prosent, les géomètres n'ont presque considéré 

 que les valeurs pour lesquelles les opérations irratio- 

 ncUes les plus simples, se réduisent aux opérations ra- 

 lionelles. Mais on peut se proposer de déterminer, 

 dans quel cas les opérations données, irrationelles ou 

 transcendantes, se réduisent à d'autres opérations, irra- 

 tionelles ou transcendantes, plus simples que les pro- 

 posées. La réduction des fonctions intégrales, soit aux 

 fonctions algébriques, soit à d'autres fonctions intégrales, 

 appartient donc à la théorie des nombres. 



EnCu la troisième partie de l'analyse pure, le calcul in- 

 tégral ou l'analyse transcendante, a pour objet l'élude des 

 fonctions transcendantes, c'est-à-dire des fonctions qui 

 représentent un nombre infini d'opérations algébriques. 

 La plus simple de ces opérations, l'addition répétée une 

 iuGnité de fois, fournit les plus simples des fonctions 

 transcendantes, et ces dernières donnent naissance à 

 d'autres fonctions transcendantes qui leur sont inverses (*)• 

 Ces deux espèces de fonctions peuvent être soumises à 

 un nombre limité ou ijiC ni d'opérations algébriques; il 

 en résultera d'autres fonctions transcendantes qui, à 

 leur tour, étant soumises aux opérations algébriques, en 

 fourniront de nouvelles fonctions, ainsi de suite. 



Quelques unes des fonctions transcendantes ont pu être 

 étudiées, à cause de leur simplicité, sans le secours du 

 calcul intégral, mais il est plus simple et plus naturel 

 de déduire les propriétés de toutes les fonctions transcen- 

 dantes d'une source commune. 



La théorie des fonctions logarithmiques se déduit, comme 



on le sait, avec la plus grande facilité de / — • Si l'on 



représente f — par /.r, on démontrera sur le champ le 



tiiéorème fondamental, et l'on déduira toutes les pro- 

 priétés des logaiilhiues. 



Soient maintenant ; =:/■:, uzizh, xz:Z(f{:),r::z<fiu\ 

 ,,. désignant une fonction inverse de /, s'il s'agit d'en 

 déterminer la nature. Or. comme /( r, )) z:z l r, -]- Ijr Z^ i -\- u 

 lious aurons Jrv^i if (t + u), donc 



ff (' + "; = '/ («)'/(")• 



En faisant u — 0, on trouve 7 (t) — ./ (î) ff (>») donc 



(p (II) =z 1 ; supposons 1 =:^ / ^ — '''' "°"^ aurons 



c — .f (1). 



(*) .Si l'on rcprcscnle la fonction transcendante JyJ-x. y étant 

 une fonction algébrique de x, par î; la quantité * considérée 

 comme fonction de ■-, sera ce qu'on peut appeler fonction in- 

 verse. J'ai proposé celle dénomination dans un mémoire lu à 

 l'Académie rn 1830. 



L'équation if (î-j-u) ':^ <f (*) (p{") fournira pour toute 

 valeur entière de m, (p (ra«) :^ {(f »)"*, (p (i) rz: (<f —J 

 d'où (f (--) ^z{(pz)"'; remplaçant z par ni, n étant un 

 entier, nous aurons cp f — zj rz (f {-)"•, ou bien, en fai- 

 sant Z^i, ,;Q) = .^. 



Ainsi la fonction f/ (t) est déterminée toutes les fois 

 que I obtient une valeur rationelle, car elle devient, pour 

 cette espèce de valeur, e-; or la notation e", pour z ra- 

 tionel, présente une détermination complète. Supposons 

 maintenant que z est quelconque, nous pouvons toujours 

 admettre l'égalité f/ (î) := e.', car e' représente bien tf {z) 

 cpiaud z est rationel, et pour les autres cas la fonction 

 e* ne dit ni plus ni moins que la fonction </ {z), l'une est 

 aussi inconnue que l'autre. 



Remplaçant r/ (i) par c*, nous aiu-ons «'"''"zze'e". Si 

 de plus, on lait attention ace que az:^ — 3Z— ^ZZ-^, 

 on trouvera d.e' zz e'di; or les deux équations 



déterminent complètement la nature de «'; on en tire 

 facilement sou expression eu série, ainsi que ses autre» 

 propriétés- 



l"?. Sur une espèce de fondions des coordonnées 

 sphériques. 



Représentons par p et </ deux angles renfermés, le 

 premier entre les limites et 2,t et le second entre lei 

 limites et n. 



Quelques géomètres appellent coordonnées sphériques 

 les trois quantités Cos y, SinyCos/;, Sin</Siu^. Nous 

 leurs conserverons ce nom, et nous parlerons dans cette 

 note, des fondions Y rationelles et entières par rapport 

 aux coordonnées sphériques Cos 17, Sin <■/ Cos/>, Sin q Siu/>, 

 et satisfaisant à l'équation aux différences partielles 



dans laquelle n désigne le degré de la fonction entière Y. 

 I.ous proijosons en premier lieu d'exprimer la valeur 

 g'nérale de Y. Pour cela, désignons par .X une fonction 

 de trois quantités oc., y, * rationelle, entière, homogène, 

 du degré n et satisfaisant à l'équation 



= 5^ +H^^ 



J.» 



