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Bulletin scientifique. 



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Si dans cette fonction, en la prenant la plus gc'nc- 

 ralc (le son espèce, on rcnijilace .1., y, z par C0S9, 

 Sin^Cos/J, Sin (7 Sin /), on aura la valeur la plus ge'nérale 

 de y. Or toute l'onction rationelle, entière et homo- 

 gène du degré n, des trois quantités x, y, t peut être 

 syraboliqucnicnt représentée par ( or-)- A> -f' *)"> ", ''1 '^ 

 étant des quantités dont les différentes puissances et pro- 

 duits doivent être remplacées par des lettres différentes. 

 Ainsi, nous pouvons supposer 



1= (ax-\-6r + et)" 

 dou 



dlï" + rfT^ + rflî- = '»('>-l)(<'x+Ar+«)"-»(a»-hA»+c») 

 et par suite, nous aurons l'équation symbolique 



a» 4- i» + . » = 

 ^ laquelle on satisfera en faisant 



rr, f, y étant des quantités quelconques: a*. A*, c* ayant 

 les valeurs précédentes, nous aurons la valeur symbolique 

 de y au moyen de l'équation 



y l^ (a Cos ij -^b Sin 7 Cos p -\- c Sin 7 Sin />)" 

 et pour en avoir la véritable valeur il n'y a qu'à éli- 

 miner de ('j Cos 9 -f A Sin g Cos p -\- c Sin 1/ Sin /))", au 

 moyen des équations a*zz ;,* — ^ *, i* 3: ; * — r *, c^ 13 

 fi* — •"*, les puissances de a, b, c supérieures à la pre- 

 mière, et à remplacer les différentes puissances et produits 

 a*, (,*, ;*, a '', r par des lettres différentes. 



Si, par exemple n :z: 2, nous aurons (a Cos 7 -|- /; Sin 9 

 Goj/» -f f Sin 7 Sin/-)» — a» Cos^y + '* Sin»»/ CosV 

 -f- 1 * Sin*7 Sin*/3 -)- 2aA Cos 7 Sin y Cos /) -|- 2(ic Cos </ Sin 7 

 Sin/i-|-2AcSinÎ7Cos/)Sin/. = ( » - ^ ») Cos»^ -f- ( » — ,») 

 Sin*7 Cos*/) -(- (fi* — .»j Sin*7 Sin*/> -f- 2ab Cos 9 Sin 7 Cos// 

 -|- Sac Cos 7 Sin 7 Sin /) -{- 2bc Sin^y Cos /- Sin /i, donc 

 y — {B — q C0SÎ7 + (r: — ^) Sin^y Cos» < 



H- (^ — B) Sin»y SinV -\- 2J) Cos 7 Sin 7 Cos // 

 -j-2BCos7Sin7Sin/j-f 2FSin»7 Cos /> Sin/;; 

 J, /î, r, D, E, F étant des consUntcs arbitraires. La 

 plus 'remarquable des fonctions Y est celle qui repré- 

 sente le coëffîcicnt de «" dans le développement du 

 radical 



I 



y[l — aa(Cosy'Cos</-|- Siny'Siny Cos (/> — />■) -)- o'J 



en série suivant les puissances de a- En sorte qu'en 

 désignant par .V„ cette fonction, on aura 



I 



> [• — ïa (Cos y' Cos y -j- Sin 7' Sin y Cos (/> — //; ~f""'J 

 - J» + X,-'. + ,r,^,» + .... -1- Xn^"-^ elc 



»' et 7' sont des angles renfermés entre les mêmes li- 

 'uites /-et 7. Les fonctions .V joui.ssrnl de plusieurs pro- 

 priétés rcmarquable.s parmi lesquelles nous citerons les 

 deux équaliocs 



f^n^m Sin qdpdq Z=. 



/J'„* Sin 7 diidq ZL 



2n-)-l 



qui se démontrent très facilement, et dans lesquelles les 

 intégrales doivent être prises dans toute l'étendue des 

 valeurs que p et g peuvent recevoir. On prouve aussi 

 très facilement que 



f yX„ Sin g dpd,/ -0; 



mais si m rz; n, l'équation précédente doit être remplacée 

 par celle-ci 



fyX„Singdpd:, = ^^^r 



qui, pour être démontrée directement, présente plus de 

 difûcultés, et dans laquelle l"" désigne ce que devient K 

 quand on y fait p'ZZp', 7^7'. La démonstration directe 

 de l'équation 



fyX„Sin qd/idq n Y' 



^ S'i + l 



est l'objet principal de cette note. Pour parvenir à cette 

 démonstration, je fais Cos 7'Cos7 -|- Sin 7' Sin7 Cos (/>-//) 

 zz Cos y, et je remplace .!'„ par sa valeur M Cos"rf -\- 

 B Cos"-» r/^ -f C Cos"-* 7 + • • • ■ où .^, fi, C. . . . sont des 

 coëfficienU numériques dont nous n'aurons pas besoin 

 (l'écrire la valeur. Je remplace aussi Singd/dg par un 

 élément dS d'une surface sphériquc décrite avec le 

 rayon — (. En faisant, pour abréger, / YX^Sin gd/idg zz V 

 j'aurai 



r — .4 f y Co^" f HS + BfYCos"—^,[ dS 



+ c/yCos"~*cfds 



les intégrales doivent être étendues à toute la surface 

 sphérique. Or, comme Y := (a Cos 7 -|- A Sin 7 Cos p -f- 

 1- Sin 7 Sin p)", en posant, a zur Cos r? , h-^ r Sin u Cos •'\ 

 c zz rSin (, Sin -, et faisant, pour abréger, Cos «Cos 7-)- 

 Sin « Sin 7 Cos (/) — ,-)^;Cosc, j'aurai J'::^;"Cos"(. , ainsi 

 V - ./r"/Cos",.; Cos",/- dS 4- Br" /Cos",,, Cos"--(f dS 

 + Cr"f Cos",o Cos"-*,/- dS-\. 



On peut regarder les angles or, j3, p', g', p et 7 comme 

 servant à fixer la position des trois droites que nous dé- 

 signons par ((), (2), (3); d'après la notation reçue, nous 



aurons (,)ZZ(1, 5), y ^ (2, 3). Désignons par 5 1 angle 



(1,2), en sorte que Cos 5 zz Cos « Cos 7' -j- Sin a Sin 7' 

 Cos (/.'—■;) et par 0- l'angle (jue le plan (l) (5) fait avec 

 le plan (l)(2}, nous .lurons 



Cos ff iz Cos (^ Cos :.) -j- Sin à Sin ui Cos i"*^. 



