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Bulletin scientifique. 



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A la première inspection de cette valeur de Cos rr et 

 de celle de T', on remarque que la dernière ne peut 

 contenir que les puissances paires de Sin A; ce qui, au reste, 

 est de toute nécessite', puisque si V renfermait Cos i)' sous 

 une forme irrationellc , on ne pourrait pas passer de la 

 valeur symbolique de cette quantité' à sa véritable valeiu-. 

 Il est visible de plus c[ue, dans l'expression de F, on doit 

 supprimer tous les termes qui contiennent les puissances 

 de Cos â' plus petites que n. Car soit Pr"Cos"~""<)' un 

 terme de celte nature: on peut le mettre sous la forme 

 Pr^Xr Cos ))"-»'■ — P;^a^ + 4^ + c*)'{a Cos 9'+ i Sin 9' Cos p' 

 -}- c Sin 1/' Sin p')"~", sous laquelle il est visiblement ze'ro, 

 en vertu de 1 équation symbolique à^-{-b*-{-c^^O. Ainsi, 

 il ne faudra retenir que le premier terme de la valeur 

 de y, car tous les autres ne renferment que les puissances 

 de Cos<)' supérieures à n — 2, nous aurons donc 



F=: ^i'V(Cos à Cos w + Sin <) Sin w Cos 6)" Cos''u.dS. 

 Remplaçons, dans l'expression précédente, Sin S par 

 ■y^l — Cos*., il nous sera facile de voir cpie sans altérer 

 la valeur de F, on peut supprimer l'unité sous le radical 

 Vl — Cos*,, car les termes renfermant Cos"J ne peu- 

 vent venir que de CosV, ainsi nous pouvons remplacer 

 Sin d par ; Cos A, i désignant une quantité dont le carré 

 n — 1, la valeur de V en deviendra 



y—yt{r Cos A)"/ (Cos w -f /■ Sin w Cos ,9)" Cos"û) dS 



ou bien, en mettant pour Cos <) sa valeur Cos ci Cos^'-j- 

 Sin« Sin7'Cos(p' — ,5), et remplaçant rCosa, rSinaCos,> 

 r Sin a Sin :? respectivement par a, b, c 



y ^ (a Cosç'-j- b Sin ij' Cos p' -\- c Sin </' Sin;»')" 

 j4/{Cos 01 -\- i Sin (u Cos 0) Cos"w dS ; 

 ou bien encore, en revenant des valeurs symboliques 

 aux véritables, 



J yjf„ Sin ^dpdi, — y . Affioi o> + /Sin :•, Cos l> )" Cos", dS. 

 Y' désignant, comme précédemment, ce que devient Y 

 quand on y fait /»=!/'', q — ?'• H nous reste maintenant 

 à trouver Jf{Cos ui+i Sin w Cos ,7)" Cos"c, dS, ce qui est 

 très facile; en effet, la quantité y^/(Cosw-(-/ Sin u, Cos,'/)" 

 Cos"w dS ne dépend que du degré de la fotiction I'; 

 elle rese la même pour toutes les fonctions ¥ d'un 

 même degré; nous pouvons donc remplacer Y par J„ 

 sans que la valeur de y//(Cosw -f- »Sin;.j Cos.'l)"Cos"o.dS 

 en cbange. Alors, eu égard aux équations X„' ZH i 



/X^S'mqdi.di ■zz r— , nous aurons 



*K 



-—r- — .//(Cosw + iSin r.; Cos ,'})'' Cos" o.dS 

 donc IyJ„ Sin ,/ dpdq - ~-^ Y'. 



Remplaçons, dans l'intégrale fY„i), Sin gdpdq, la fonc- 

 tion particulière .V„ par une fonction T„, de même es- 

 pèce mais aussi générale que }"„ et proposons nous de 

 trouver l'intégrale 



F= /Y„T„Smqdpdq. 



Supposons 



y„ m (a Cos g -\- b Sin q Cos p -{- c Sin q Sin p)", 

 T„ zz (a' Cos q -{- b' Sin 9 Cos p -f- c'Sinq Sin />)" 



nous aurons 



y IZ /{a Cos q -\- b Sin q Cos p -\- c Sin q Sin />)" 

 (a'Cosq -f- b'S'mq Cosp -(- c' Sin q Sin p)"dS; 



dS désignant, comme précédemment, un élément d'une 

 surface sphérique ayant l'unité pour rayon. 



Soient azzr Cos a, b'Zlr Sina Cos ,-?, c ~ r'-'mu Sin ? 

 a'-zz r' Cosu', «' - r'Sin «'Cos .3', c'— r'Sin «'Cos ,3' 

 Cos « Cos q -\- Sin « Sin q Cos (/> — f?) ^^ Cos a 

 Cosct'Cosy -(- Sin «'Sin 9 Cos (/) — -j')zz.Cos u' 

 Cos a Cos a'-\- Sin a Sin u'CosQi — ,ï') ^: Cos S 

 la quantité F en deviendra 



y ZZ {rryjCos"o.Cos"Lù'dS. 

 Mais on peut supposer, comme précédemment, 



Cos w' "ZZ Cos c) Cos eu -\- Sin <)' Sin w Cos .!/■ 

 il s'en suivra 



y zz {rr')" /{Cos Ô Cosw -f Sin JSin w Cos oyCo^'wdS. 

 ou bien 



F — ( r r' Cos ,))"/(Cos w + / Sin w Cos ^» )" Cos"<o dS 

 or rr' Cos A ^ aa' -\- bb'-\- ce' donc 



F — (aa'+ Ai'+ ce' ff (Cos w -f /Sin cj Cos 'I )" Cos"ujdS. 

 Quant à l'intégrale /(Cos 01 -{■ 1 Sin lu Cos i*/)" Cos"(urf.î, 

 on vient de voir que Jf(Cositi -\- t Sinw Cosr'/)"Cos"ad,y 



4T , , ^ 1.3.5.7...i/»-l 



~ — ; — , et comme de plus on sait que ^ ^z , 



in-\-i' •' ^ ISS. 4. . . '• 



il en résultera /(Cosw-f- i Sin 0, Cos oy Cos" dS zzz 



(.2.3.4. . ••n 4t 



. , et par suite 



1 .3.6.7.. ..In-l 2'»-t-l ^ 



fY„r„ SinqdudqZZ — *•*••• " -'' (ou'-f- W/4- .<■')"• 



Cette formule est remarquable par sa simplicité. 



Si l'on avait à intégrer f V^T,,, Sin q dp dq; n > m, on 

 aurait trouvé tout de suite 



fY^r„,Smqdpdq Z=. r"-"'(rr'Cosy" 



/(Cos 01 -\- j'Sin £« Cos ny Cos"arf.y=;0 

 on suppose, dans la dernière formule, que n et m soient 

 ou tous deux pairs ou tous deux impairs, sans quoi l'éga- 

 lité fy„y,^Sinqdpdq zz est évidente par elle même. 



