217 



Bulletin scientifique. 



•218 



18. Sur te calcul des variation}. 



Les auteurs de tous les e'crits sur les principes du 

 calcul des variations, (pii sont venus à ma connaissance, 

 disent que les variations des fonctions s'obtiennent de 

 la même manière que les diflcrenlielles; or il se trouve, 

 dans celle manière de s'e'noncer, une omission que nous 

 allons signaler en faveur de ceux qui commencent les 

 études des sciences mathématiques. Désignons par u rz 

 f{%, y., t....) une fonction d'autant de variables x, y, 



t que l'on veut. On dit que la différentielle dn 



étant représentée par Adx, -\- Bdy ■\- Cdi-\- . . . , on aura 

 également pour la variation iu l'expression suivante 



<yu = À^x -(- Bjy + Cjt + 



Ceci est vrai tant que la variation ne diffère de la dif- 

 férentielle que par la notation, c'est-à-dire quand on 

 cherche, non la variation d'une fonction, mais sa diffé- 

 rentielle, qu'on veuille, ou qu'on soit obligé de désigner 

 par une caractéristi(jue différente de d. Mais il n'en est 

 pas de même, quand on cherche la véritable variation 

 d'une fonction. 



La différentielle de la fonction m résulte de l'équation 

 du - /(x + dx,y + dy, z + dz.. .)-f{x,y, z...) 



en n'y conservant que les premières puissances de du, dy, 

 dt...., et la variation du est donnée par l'éqnation 



t^u = F{x+,)x, y +,)y, z+dz. . .) —/(x, y, t. . .) 

 eii n'y conservant également que les premières puis- 

 sances de r)x, t>y, ()z...; mais F y désigne une fonction 

 différente de /, telle au reste que F(^T,y, x....) — f(x,y, z....) 

 soit une quantité infiniment petite du même ordre que 

 les accroissements i)x, ry, dz . . . Or, en ne conservant 

 que les premières puissances de <ix, iy, oz. . . ., on a 

 F{x + .)x, y + Ar. X + ,)z. ..)— F{x,y, z....) 



donc 





rf.T 



i„ = __ „^ _|_ _ A.r + ^ dz -f- 



+ FCt,y, z...)-f(x,y,z....). 



Désignons la différence infiniment petite /"(i, j-, t. . .) 



— {{x, y,i. . .) par o , ou ce qui revient au même, faisons 



r, s ■ dF _du d. 



r{x, y, z...) zz u + (.i, nous aurons ^ — dl^ ~T~ TZ' 





dF du 1^ d j 



lu Ji I "57' ' 



• et par suite 



/rfu , dJ\ , , fdu , diJ\ , 



+ Ê + £)^^+ + <- 



ou bien, fn négligeant, comme on le doit, les iuQoiment 

 petits du second ordre, 



du t du , du . 



<lu Z^ —- lix -V- — !iy -X- — S i -\- . . . . 4- ,„. 

 i/x ' dy * d: ' ' 



Cette formule est l'extension de celle que l'on donne 

 pour les différentielles des fonctions à plusieurs va- 

 riables; elle fait voir que, pour obtenir la variation d une 

 fonction u, il faut en chercher les différences partielles 



du ,. du du 



Ar^^'T^'^-^' TJ'' 



en i'aisant changer les variables 



<i>i 



du 



X, y. 



du 



une à une, et puis à la somme "^ Sx -j- -^ dy 

 -|- -^ Jj -}- .... de ces diiTérences ajouter celle qui est due 

 au changement de forme de la fonction u. 



Proposons nous de trouver la variation d'une fonction 



U renfermant les variables i et j' et les dérivées suc- 



d'y 

 ■' — — "" . . de y par rapport à x. 



ày 



dm 



rf*» 



Si la variation de V pixivient de ce i[ue les variables 

 X et y, et par suite leurs dérivées, changent par (juebpies 

 causes que ce soit, sans que la nature de la fonction l 

 change en rien, la variation dV ne difl'ércra de la difl'é- 

 renlielle dV que parce qu'on y aura fait changer les va- 

 riables ;r et y de Sx et iy, au lieu de dx et dy\, ainsi de 

 même que 



,„ du \ dU , dU dU „ 

 dU--dx\~dy^-, dy -f- -p dy + 



.^ = ^..-f^.. + ^^-'-H-A,"4-. 



dy 



Mais si la nature de la fonction \] change de manière 

 que, V étant représentée par j\x, y, y', y" . .), L ■\- SV 

 le serait par Fix^rSx, y\->y, y'-{-Sy', y"-\-Sy" . . .); il 

 faudrait alors, en faisant F(i,>-,^',^"...) — f(.x,y,f',y"...) 

 ZZ. !■ , supposer 



dU dU j_ dU dC „, , 



Ainsi l'omission, que nous avons voulu signaler, con- 

 siste en ce que, après avoir dit que la variation d'une 

 fonction s'obtient comme sa différentielle, on néglige 

 d'y ajouter: toutes les fois i/itc la nature de la fonition, 

 pendant i/iie les vaiiahles c/iangcnt, ne change pas. 



