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Bulletin scientifique. 



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= 2(l"-'+2'"-' + 5"'-' + ... + (^)'"~') {mod.p). 



Donc, la congruence (1) se réduira à 

 2s^mp (1""-' + 2'"-' + 3"-» + . . . + (;>— 1 )"-') {mod.p^) 

 ou bien, en observant que p est diffe'rent de 2, 



(2) i-=l"-'4-2"'-'+3'"-'+ |-(;,_i)'"-» (mo(i./>) 



Or, si l'on repre'sente la série des nombres 



1, 2, 3, {p — i) 



par la série 



Ç.> i'^> C*. 



n^-'. 



* étant une racine primitive de p, l'expression 

 sera congrue, suivant le module p, a la. somme 



— /"-' — 1 ' 



Le numérateur o'/""'* ("» — i) — ^^ gn vertu du théorème 

 de Fermât, est divisible par ^ ; donc si le dénominateur 

 p"*"' — 1 ne l'est pas, on aura 



?""'+(»*""-"+?**'""**+•• . .+p<'^"<'"-'>=0 {mod.p), 

 et, en remontant plus haut, 



l'»-i_|-2"'-' + 3"'-' + + (/'— l)'"~'=o Q"od.p), 



ce (jui réduit la congruence (2) à — ^ o (nioc/. ^), ou 



ilnalement k s '^o (mod. p*) ; cette dernière congruence 

 exprime précisément le théorème que nous nous som- 

 mes proposé de démontrer. 



Voyons maintenant quelle est la condition nécessaire 

 pour que le dénominateur p'"~' — 1 ne soit pas divi- 

 sible par p; pour cela, il suffira évidemment, puisque p 

 est une racine primitive de p , que m — i ne soit pas 

 de la forme {p — J) A, h désignant un entier quelconque. 

 Reste à savoir si, dans le cas même dem — iz^(p — l)A- 

 ou m=,{p — t)k -|- i, le numérateur p*^-'> t"»-0 — i 

 ne sera pas divisible par une puissance dep, supérieiu'e 

 à celle qui divise le dénominateur (/'""' — 1. Or, 

 nous allons faire voir que cela ne peut avoir lieu. En 

 effet, puisque 



çP-' = i+pe, 

 e désignant un entier, l'on aura, a cause de m — 1 ^: 



= i + {p-i)k.peJ^^-''>'^[''-*'>'-'\p^e- + 



Donc, en désignant par K un entier^ il viendra 

 (3) p'P-"^"»-»— lzzpe(-A-f pJÏ). 



On trouvera de la même manière 



e"-'-e'P-'^'-{i+pef-l+pe.k^*Jt:^p^e^+ 



ou bien, en représentant par K' un entier, 

 (4)_ ç"'-^-i = pe{h+pK'). 



L'inspection des expressions (3) et (4) nous fait voir 

 que chacun des deux nombres pi/» — ') ("» — i) — ± ^i 

 p"'~' — 1 ne peut avoir d'autres facteurs p, que ceux 

 qui sont compris dans le produit pe, à moins que k ne 

 soit lui - même divisible par une puissance de p. Dans 

 cette dernière hvpothèse, on peut également faire voir 

 que les deux nombres — k -{- p K et k -\- p K' ne 

 peuvent être divisibles que par la même puissance de p. 

 En effet, en supposant k zz hp^, h étant premier à p, 

 nous aurons 

 -k + pK 



^p^[-h+ph+^-^^'^[''-J^t^^pe 



(p-t)h[_(p-i)k-i-]i(j,-i)k- 



-^p^e 



■+..] 

 is+,ir'=f'[s+'<;-'V.+'<'7'»'.-V'a'+...] 



Or, nous pouvous donner à ces expressions la forme 

 suivante 



-k+pK=zp^[-h+pEl k+pK'z=p^[_h + pE'l 

 car il est facile de voir que les coëfliciens des puissan- 

 ces successives de e dans le développement de E et de 

 E' seront des nombres entiers. Donc, puisque h, par 

 hypothèse, est premier à p, chacun des deux nombres 

 — A -j- pK et k ~\- p K' ne sera divisible que parp"*. 

 De Va, il faudra conclure que quand mzz{p — l)A-)-l, 

 la somme 



,,m-i/ (D-i) (m-i) ,\ 



et par conséquent la suivante: 



jm-l _|. 2"—! ^ S/n-J _^ . . . ^ (y, _ l)""-» 



n'est point divisible par p. En rapprochant tout ce qui 

 vient d'être dit, l'on déduit le théorème que nous avons 

 énoncé au commencement de cette note. 



Pour donner un exemple, supposons pzzl et wr^S; 

 comme m n'est pas de la forme {p — i)/r-}-l^:6A-|-l, 

 l'on aura 



1' + 2» -1- 3' + 45 -f 5' -I- 6= ^ o {mod. '»). 

 En effet, l'on trouve: l'^l, 2' = 32, S'' = 47, 4« = «, 

 5' ^38, 6' ^ 34 suivant le module "/* , et par suite 

 1 -f 82 -I- 4T -f- 44 -I- 38 4-* 54 rr 196 zz 4 . 49 

 = {mod. 1^). 



La somme des {m — thèmes puissances des mêmes 

 nombres, c. à. d. la somme 1* + 2* -j- 3* -)- 4* -f- 5' + 6*, 

 en vertu du théorème démontré, doit être divisible 



