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Bulletin scientifique. 



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à la mclhojc oitliiiaiK; pour la ix-cliciclie des inaxima 

 et mlnima de fonctions d'une seule variable, on difl'ércnlie 

 le second membre de la formule (2) par rapport à ii, 

 et «mon e'galc à zéro sa diU'ércnliellc, on aura léijuation 



(3) 



/.co roo 



cas 11^ du -\- siri ifij siii li^ du ZZ. 



qui, pour que la fonction primitive de son premier 

 membre ne devienne pas maximum, ni minimum, ne doit 

 pas êlre satisfaite par aucune valeur réelle de u. Pour 

 montrer, <jue ceci a elTeclivemcnt lieu, de'vcloppons les 



/oo ^oo 



cosii^dit, Jsiiiii^du en se'ries suivant les puis- 



sanccs descendantes de u. Au movcn de l'intégration 

 par parties, on trouve : 



/•~ -, COS II' C I l s I . ï . 5 . 7 . 9 1 ) 



cos u^ aiizz < — r r H : — . . . > 

 y ♦ (11^ a. an' ' i.2.2.2ii" S 



sin 11' C 2 .ï ( s . ô .'7 I ) 



« ]^ Il au^ ''3.2.2 11» "'^ 



r°^ , , m.wi' C 2 R ( , ï.6.7 I ) 



I Sin II'- du ZZ ■< T-\ r — ... J- 



J ^ *-C" au5'2.2.2H'' \ 



, sin k' C ( s . 5 I 



"' 4 P Ij5 2.2 h' 



S. 5.7 .9 



. — 



2 . 2 . 2 . 2 II " *) 



En substituant ces valeurs dans l'équation (3"!, on aura : 



I .1.5< 8.6.7.91 



u' a.2 u' 3.2. 2.1 u" 



ou bien 



8.6 ( j^ 3.6.7.9 1 3.6.7.S1(.1S 



2.3 «• ' 



(•*: 



■ i- 



n+- 



1.2.2.3 u" 2.2.2.2 2.2 u 



Mettons celte équation sous la forme : 



,.. ^ 8.5 I /■ 7.9\ 8.6.7.9.11.18/ I6.17\ 



On voit d'abord , que pour toutes les valeurs de «1 

 dont la 4ènie puissance ne surpasse pas -^, tous les 

 inembrcs de cette équation sont positifs. Pour des va- 

 leurs de u, plus grandes que y —, plusieurs membres 

 deviennent négatifs; mais on s'assurera aisément, que la 

 somme de tous ces membres, en quelque nombre qu'ils 

 soient, est toujours inférieure à l'unité. Admettons le cas 

 le plus défavorable, en prenant les plus grandes valeurs 

 de tous les membres ; nous aurons : 



ygx . ,8^ J / 3\' 8.5.7.9.11.13 1 / S \ * 3.6. .. 21 1 



' *7.9'T \T/ l6'.l7-> 1~\«) 2ïS.25* Ô""' 



Pour voir , que cette série est positive , on n'a qu'à la 

 comparer à la suivante : 



l_±_i__i._i. 



2 4 8 16 ••••, 



qui, comme on le sait, est égale à zéro. Comme les 

 membres de celte série diminuent moins rapidement que 



ceu.\ de la série (^6), il suit évidemment que cette der- 

 nière série est positive. Delà on conclura, que l'équatioa 

 (.")) et par suite l'équation (5) n'ont point de racines ré- 

 elles. 



Dans ce qui précède , nous avons employé les déve- 



loppcments des intégrales jcosu^du, jiiiiu''du suivant le» 



puissances négatives de u , ce qui ne peut être admis 

 que quand on attribue à u des valeurs beaucoup plus 

 grandes que l'unllé, ou quand le point P est très éloigné 

 de la trace de l'ombre géométrique. On voit de plus, 

 que, dans ce cas même, les séries, dont nous nous sommes 

 servis, sont divergentes, et par cette circonstance la rigueur 

 de la démonstration que nous venons de donner , se 

 trouve fortement affaiblie. Pour ne rien laisser à désirer, 

 nous allons reprendre le problème, et le résoudre sans le 

 secours de développements en séries. Pour cet effet, dé- 



composons chacune des intégrales jcosu'^du, jsinu^du en 



deux autres , comme il suit : 



u u 



fcosu'^du^lj cos u^du — j cos «* Jit — ^ V j — / cos u*du. 



u o o ° 



/ iiii u^du ZZ I sin u^ du — J sin u'^du:=iy 1 — [sin u^du. 



u o o -b 



l'équation (S) en deviendra 



(^) iy-[cos u'^-f sin u'^)—cos uy cos u^du—sin u^ Sin u*é/u— 0. 



Or il est facile de faire voir que le premier membre de 



1 A'e-"'z' 

 cette équation équivaut à l'intégrale — / '———dz • 



J o 



En effet faisons 



nous aurons 



dx 



r^^h--dz 



en intégrant l'équation ^ -f ;' rz j^ de manière que 

 pour x=.0, l'on ait y — {y\, %—— {V^ 1 on trou- 



vera 



f=ïVl{cosx-sinj^ + {{sinxJ'^dx-cosxJ'-^dx^ 



