14 1164] De eontactu seeundi ordinis. 
e paragrapho antecedente coordinatae eujusvis puncli duplieis satisfaciunt. Tamen utraque ae- 
quatio et (2) et (9) formam indelinitanı induit. Cujus signilicalionem veram ut perspiciamus 
ab observatione exordiamur aequationes (2) et (9) divisione non adhibita obtineri posse ex 
aequalione (7), quae propter relationem (4) radieibus secundum y vel x vel 2 gaudeat ratio- 
nalibus. Caleulo perfecto has aequationes nanciseimur:! 
ET (ET ha Etting Ferza)ade ul 
y> ya yXr y° a? yz yz 2 z? 
13 ur Fe ar ur’) 
re Be 2 ee 
FE ya ax y2 22 yz yz y° 2° 
quae sine ulla ambiguitate et casum puncli inflexionis et casum punchi duplicis comprehendunt. 
Signa radieum 
Pre PP ec [Are pr 
ya y? «> z y: z 
quae per se ambigua sunt, ea slaluamus, quae cum signis expressionum 
PP-—-PP PP—-ıPPB 
ya 0 yay y?z yz y 
z fZ et pP 
Y Y 
respective conveniant: tum caleulo rite instituendo adhibitisque formulis 
BR Sa PP PA BB:= u 
2 
y x ya y a? y 
Bapı = SXPAR P+ PP’=o 
yS: yzz y En 
prima aequationum (13) eadem cum aequatione (2) tangentis osculatoriae, secunda autem 
eadem intelligitur cum aequalione lineae rectae (9), quae, nisi aequationes valeant si- 
multaneae 
Y Zerıtik P'; : 
neque curvae I neque tangenli (2) in puncto e- Fu oceurrit. 
Quibus quotiescunque satisfit, allera recta alteram in puncto (5 er) curvae I tra- 
jieit et utraque cum curva contactionem habet, quae in universum est primi ordinis. — 
Cum aequationi (4) et puncta duplicia et puncta flexus contrarii correspondeant, nu- 
merus inflexionum curvae, quotiescunque duo ejus rami aliquo puncto se invicem decussant, 
imminui debet: quaeritur, quanto hie numerus imminuatur, sive quot sunt puncta flexus con- 
trarii, quae in unum punetum duplex coincidant. 
Sumamus aequationem I ila transformatam, ut termini in 2"! et 2” ducli evanescant, 
id quod semper aceidit, quotiescumque initium coordinatarum transponitur in punctum duplex; 
porro sint 
BoD DD; DR 
Yerıya Zu yz inkl 
unctionum secundi ordinis derivatarum eae paries, quae dignitates 2%, pi, pr, pi... . pt 
neque altiores involvant: fit indice 7 iterum omisso. 
