e urvis tertii ordinis insunt. [179] 29 
Alqui ex antecedentibus sequitur theorema: 
Novena flexus contrarii puncta cujuslibet curvae tertii ordinis per quaternas rectas Ira- 
jieiuntur, quarum quaelibet, intersectionis puncto communi excluso, bina talia puncta com- 
plectitur. 
Nam dummodo formulas collineationis e imaginariis coeflieientibus conflatas admittas, a 
! p' p . C ” - - - 
curva I sive (U), en er cujusdam puncti flexus contrarii coordinatas designantibus, ad 
u 
curvam (V‘) transiri fas est: unde vice versa theorema modo pronuneialum, quippe cui inilium 
curvae (V) satisfieri viderimus, ad libitum transferri potest ad punctum quodlibet u Se in quo 
ceurva (U) inflexione gaudet. 
Ergo, hujus theorematis benelficio, ea linea recta, quae puncta utraque 
(A + Bi, C+Di) et (A—Bi, C—Di) 
con'ungit, cum realis sit, curvae (V') in duobus istis punetis occurrit et in uno reali, quod ini- 
tium coordinatarum minime incidit (linea enim recta ab anguli imaginarii altero crure ad alte- 
rum ducta, nisi a verlice exordiatur, ad verticem pervenire nullo modo potest). Aeque ea linea 
recla, quae puncla utraque 
(4 + Bi, C + Di) et (A'—Bi, C—Dii) 
continet, cum et ipsa realis sit, curvam (}”) in terlio puncto reali trajieit, quod neque idem est 
cum initio, neque cum puncto modo commemoralo. 
Jam quaeritur, quomodo duo realia puncta, quae extra inilium existere comprobavimus, 
. ” ” ” * e . . 7 ni . ” 
in duobus ceteris reclis distribuantur, quae valoribus quotientis — ab a + bi diversis corre- 
spondent. Sumamus primo utrique rectae unum inesse: quo posilo recta ab altero ad alterum 
ducta, cum initium non trajiciat, necessario unum ex qualuor punelis imaginarüis (A + Di, 
Ü + Di) etc. complecteretur, id quod contradictio est, cum curva terlii ordinis et linea recta 
in duobus punctis realibus et uno imaginario se mutuo secare nequeant. 
Hinc utraque puncta realia in una recta posita sunt, quae initium trajieit et, cum fria 
puncta realia contineat, ipsa quoque realis esse debet. Celterum ea recta aequationis (21) 
terliae radiei correspondet, quae ideirco realis esse intelligitur. Jam cum duae primae radices 
imaginariae sint et terlia realis, sponte quartam realem esse sequilur et vice versa linea recta, 
quae ea assignatur. (Quod attinet ad hanc reclam ultimam, aflırmo eam curvam (N) in duobus 
punctis imaginariis secare: quod nisi accideret, recta ab altero ad punctum utrumque ducta fle- 
xus contrarii reale, quod extra inilium terliae rectae inest, iterum duo puncta realia et unum 
e quatuor imaginariis (A + Di, Ü + Di) ete. complecteretur. Ambo igitur sunt imaginaria et 
id quod faecillime intelligitur, insuper conjugala. 
Jam ex indole totius disquisilionis, dummodo, quae de singulari curva (}”) demonstra- 
vimus, rile transferantur in curvam terlii ordinis universalem, quae est curvae (V) collineatio- 
nis cognatione adjuncta, haec theoremata notissima fluunt, quae primus Plückerus illustrissimus 
pronunciavit: 
Theorema Vi. 
Cuilibet tertii ordinis curvae in genere cossespondent novem flexus contrarii puncta ac 
