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valevoli qualunque sia il vettore cosfuìde (cioè indipendente 

 da F) a, e qualunque sia il vettore y funzione di P. 



È necessario dimostrare che le condizioni (1), (2) definiscono 

 univocamente le funzioni D, K. 



Essendo U un punto fisso, i, j. /. vettori fissi unitari formanti un si- 

 stema ortogonale destrogiro, •> 



P^O-\-xÌA-t^-\- :J, . Il = ai -\- bj + ck , 



si ponga, indipendentemente ila a e da ♦/ , 



DuX = (xy,i)- h ••■-••• = (-K X grad a) t + ... + ••• , 



K,« ic = (a? X t) grad « + . . . ^ . . . = (oc X ^^) * + • • • + • • • . 



ove i terzi membri si ottengono dai secondi ricordando che 



grad,»=— t+^-J^^/.. 



Ciò posto si ha : 



(Duic)Xa = (a'Xgrada)(«Xa) + . . . = a; Xgrad (uX*) (a X ») + • • • 

 ^ ic X grad (u X «) , 



(Kux)Xi/ = (acX^^')(iX!/) + ...-a;XJ(2/Xt)^"-f...(=a:^XD,.*/. 



Dunque le funzioni D, K esistono. Sono uniche perchè dalle (1), (2) si ha 

 (Dii X — D'„ a?) < a = . (K» jc — K'.i a?) X !/ = 

 qualunque siano a ed y, cioè D'm^=Dm, K'u = Ku. 



Esaminiamo ora le principali proprietà delle funzioni D, K 

 che sono conseguenze dirette delle condizioni (1). (2). Supposto 

 che il, V sieno vettori e m numero reale, funzioni di P, si ha: 



(3) I)udP=du, {K„ jc)XdP=xX du 



(4) D„x = e K„x^ 0, per JC qualunque, solo quando M = cost. 



