FUNZIONI VETTORIALI 15 



\ Km l.i*' - 



f cioè D 



(5) { K„ (ac + */) = K„ 05 -|- K„ y , K„ [mx] = mK,, x 

 cioè D e K sono funzioni lineari. 



\ I),nuOC = niDuOC + (a? X grad m) u 



} K,„uOC = niKuX -|- (jc X «*) grad m 



(<i) T),t+vX = Du ^ 4- BrX , K„ ^vOC= K„ x-\-KvX 



(7) 



(8) grad {u X *^) = K„ *' + K„t* 



(9) 



( D„ , „x = uA'Dv'JO — i'A D„ X 

 ( KuA« 5C = K„ [v A oc) — K„ (w A oc) 



Le (3) danno il carattere fisico delle funzioni D, K. La prima 

 dice che applicando Du ad uno spostamento qualsiasi dP di P 

 si ottiene lo spostamento corrispondente du di ti. La seconda 

 esprime che la proiezione (composta, lavoro) di K„ x su dP eguaglia 

 la proiezione di x su du. — La funzione D„ può chiamarsi " de- 

 rivata di u rispetto a P „ ; la K„ è coniugata di D,, come esprime 

 la (2) con lo scambio dei vettori x, y. — Se nella (2) si pone X 

 al posto di y, risulta che D„iC — K„ac è normale a x [Cfr. (12)] ; 

 in particolare la seconda delle (3) dice che K„dP — dìt è nor- 

 male a dP. 



Dimostriiimo ora le formule pretodenti. 



Dim. (3). ( D„ <ÌP) X « = dP X ?rad (u X «) = d {u X «) = (du) X « 

 (Km x)XdP = (Dm dP}Xx==xXdu. 



Dim. (4). — Risulta dalle (lì e (2) ricordando che gradm = per qua- 

 lunque posizione di P, solo quando »« = cost . 



Dim. (5). (D„ X + Dh y)Xa = (x-\- u)y grad (u X «) = 

 = ]Duix^ 1/){X a 



e analogamente per nix e per K. 



Dim. (6). (Du-hv «) X « = »^ X grad (m + r) X (i = 

 = 07 X grad M X « + •« X grad vX a = (Dm x)X a-\- (D» ic) X « , 



