16 e. BURALI-FOKTI 



e analogamente per K. 



Dim. (7). (D»iu x) X a = a? X ) »" ?rad {u X «) + (m X «) grad m ( = 

 = m (Dm a?) X « -"- (^ X grad m) w X « , 

 (K»iM a:;) V // = (DniM 2/) X aj = w (Di« y) yC oc -\- {y Y, grad »;j) m X a? = 

 = m (Ku ir) X y + (a? X t*) grad mXy. 



Dim. (8). grad (u X v) X ^jP ^ ^^ («* X v) = M X rfv + r X ^^M = 

 = (Kn r) X rfP+ (Kt. u) X rfP, 



che dimostra la (8) purché F possa spostarsi almeno in due direzioni distinte. 

 Dim. (9). — Se a è vettore costante si ba 



DtiAa a? = — fi A Dna?, Km « x = K»« (a a x) 



come dimostrano le seguenti eguaglianze: 



(Dn/,aa5)X& = a:Xgiad(MAaX6)=xXgrad(MXaAft)=aAftXD"a? = 



= — a/\Duxy(^b, 



(KuAax) X 2/ = (i)H'ay) X a? -= — a A (Du?/) X a; = {Duy) X « A a? = 



= ) K„ fa A a?) ( X 1/ . 



Ciò posto, le seguenti eguaglianze dimostrano le (9) : 



(DuAvx) Y,a = xX grad {u Y,v A ^t-) ^ ocyCKu (v /\ a) -\- xX Kv aU=^ 

 = v A « X Dm a? -j- « X D»/ a x= — v/\ (Dm aj)Xa — MX«ADt»a: = 



= (m A D» a; — V A Dm a?) X « . 



(Kma» x)yCdP = xyid{u /\v) = xyiu /\dv — X X V /\du = 

 = ix Au)Xdv — [X ^,v) X du = {Kvx /\u - KuxAv)XdP. 



La prima delle (9) si può anche dimostrare, osservando che 



J)uAvdP= d (u Av) = u /\dv — V A du = u A (Di-rfP) — vA i^ndP) 



e che essendo dP arbitrario si può sempre porre dP= tx con t infinite- 

 simo. Questa dim. rende anche la prima delle (9) indipendente dalla (8). 

 della quale ci siamo valsi nella prima dimostrazione. — Si osservi però 

 che se P varia in una superficie, allora non si può porre dP=Tdx altro 

 che per x parallelo al piano tangente in P, e quindi la dim. ora consi- 

 derata cade in difetto. 



Se nel sistema di riferimento 0, *, j, k si ha 



^ =^0 -\- xi -\- iji-\- zk , il = ai -f kf -f- ck , 



