FUNZIONI VETTORIALI 17 



allora si è già trovato che 



D.,^-:(^ X i) ■ ;;: + (^ x./) ^^+ (^ x /^) t = 



= {xX grad a) * -f- (ac X gi'ad è)^' -|- (^ X grad e) k , 



(10) ' 

 K„ flc = (sr X *) gi'ad « + (?/ X .» gi-ad è + (</ X ^) grad e = 



Le precedenti formule (l)-(9), che noi abbiamo dimostrate 

 indipendentemente da qualsiasi sistema di riferimento; si dimo- 

 strano anche valendosi delle (10) e in modo assai semplice. 



Le (10) permettono di dimostrare ancora la proprietà se- 

 guente: 



(11) D„5C = K„^« qualunque sia x, solo quando u è il gradiente 



di un numero funzione di P. 



Dalle (10) risulta che DM = Ktt solo quando 



■òu 

 ffiad « = V 



che, per essere u = ai -f- bj -\- ck danno 



^b !)c de àa òa òb 



òz ò;/ ' ^r òz ' dtj òx ' 



le quali esprimono esistere un numero m tale che 



()m òm òm 



cioè tale che 



òm . , dm . , òm , , 



'' = -ò^'-^ 0,^'^Tz'''^^'-"^"'- 



Non sappiamo dalle (1) e (2 j dedurre direttamente, senza l'aiuto delle 

 (10), la proprietà (11), la quale deve ridurre la condizione Di« = Km a 

 questa, " M X dP e un differenziale esatto. „ 



Atti della R. Accademia — Voi. XLIII. 5 



