FUNZIONI VETTORIALI 19 



allora 



òx oy òz 



(grad a) A * + (gradò) Ai + (grad e) A ^' = 

 oc _ 06" 



oc d6\ . I I dn <^c\ . , I òb àa\ j^ 



:i4) 



= (grad a) X * + (grad />) X i + (grad e) X^' = 



Da j^ ()b I i^c 



()x fìy ò^ ' 



I primi membri sono già stati ottenuti; gli altri si ottengono facilmente 

 dalla nota espressione di gradiente mediante il sistema di riferimento. 



Per le funzioni rot, div, valgono le formule seguenti nelle 

 quali u. V sono vettori e m è numero reale^ funzioni di P. 



( 1 5) rot [il + r) = rot u -f- l'ot f , div {u -f- 1^) = div u -f- div v 



^ rot {mu) = m rot u -j- (grad m) A u 

 I div [niti] = m div u -j- (grad m) X ** 



\ rot [il A '*) = D„ V — (div u) v — ) D^u — (div v) u { 

 (17) 



ì div [u A ") = ** X rot 11 — il X rot v 



(18) rot il =0 in tutto il campo di variazione di P, solamente 



quando n è il gradiente di un numero. 



(19) div 11^=0 in tutto il campo di variazione di P, solamente 



quando n è la rotazione di un vettore. 



Dimostriamo le formule (15H19). 



Dim. (15). — Risultano subito dalle (12), (13), (6); ad es. 



rotdf + v) A or, = Du-}-vX— Ku-\-vX = I>uX — KuX-\- DvOC — Kf£c = 

 = {rot u -\- voi V] /\x. 



Dim. (16). (rot mu) A^ = DwuX — KmuX = wi (DuX — KuX) -\- 



-\- [x X grad m) n — ixXu) grad m = m (rot m) A « + grad m Au) A^, 



e analogamente per div (mu) . ' 



