20 e. BURALI-FORTI 



Dim. (ITi. — Dalle (14) si ha 



rot(«A»)=J«A(»A||)+iA(*fA..)|+. .. + ...- 



=["'x^E'-(^x')'-;"'X"r:-:gx')"i]-^-= 



= DuV — (div u) V — ) Dr M — (div V) tt \ . 



div m A V) = I ^ A t' X » -t- M A -^ X t| 4- . . . 4- . . . = 



= ^x(ìaV-x('a^Ì*h-...+...= 



= r X rot u — u X rot v . 



Ecco un'altra dim. di quest'ultima formula, indipendente dal sistema 

 di riferimento : 



■ div (u A v) i il = I>M • r a — rot ) fw A t') A « ' = Dm Ar a — rot ; (w X a) i' — 



— (r X a) w ' = M A Df « — *■ A Dm a — (m X a) rot v — grad (uXa)Av-\- 

 + (V X al rot u + grad ( v X «) A «« = w A Dr a — v A D«« « — (M X a) rot t» + 

 + (w X a) rot M — (K« a) /\ v -\- CKva) A «* = u A (Dra — Krà) — 



— v A (Cu a — Ku a) + («^ X a) rot ti — (m X «) rot r= ti A 1 (rot v) /\ a \ — 



— r A 1 (rot v) A «! + '*' X a) rot te — (m X « ) rot v = . . . 



Non sappiamo fare cosa analoga per la prima delle (17). 



Dim. (18). — Risulta dalle (11) e (12). 



Dim. (19). — Affinchè esistano i numeri m, ti, p. funzioni di Pe tali che 



òp òn àm ^ ò« d»» 



dy ò^ ' àz ò-T ' (^^ dy 



è necessario e sufficiente, per l'ultima delle (14). che sia divt«^=0; dunque 

 solo in questo caso u ^= rot imi -^ nj -\- pk) . 



È ben nota la formula 



(20) du = ^ (rot u) A dP -f- grad o^^dp {dP X dn) 



che trasforma lo spostamento dn, in una rotazione e in una 

 traslazione. Un'altra espressione notevole di da si ottiene po- 

 nendo fiella (i2) dP al posto di x. 



(2 1 ) d» = (rot m) a dP-{-Ku dP 



