FUNZIONI VETTORIALI 21 



nella quale la rotazione è doppia della precedente e la trasla- 

 zione si ottiene mediante la funzione K. 



Si può sempre determinare un numero nt e un vettore v-, 

 funzioni di P, in modo che 



(22) n = grad m -f- rot v (Teorema di Clebsch). 



Valgano le notazioni delle (14). Si può determinare il numero J«^ , in 

 modo che 



div {ai) = div grad w, 

 cioè in modo che [per le (14)] 



da d'»Wi d^tnt j_ ^'»»i 



òx òx^ òi/ òz^ 



Il vettore ai — grad >«i ha dunque la divergenza nulla, cioè, (19), è 

 la rotazione di un vettore Vj , vale a dire 



ai = grad mi -|- rot t'j . 



Ripetendo per bj , ck e sommando, per le (15) si ha la (22). 



3. Funzioni D', K'. — La prima delle (17) suggerisce di 

 considerare la funziono D'„ tale che qualunque sia il vettore ac, 

 funzione di P, si abbia 



(23) D'uX = D„ X — (div ìi) x , 

 e allora la prjma delle (17) assume la forma 



rot (le A v) = D'„ v — D „w 



che ha analogia con la (8) che esprime grad [u X ^) mediante 

 la funzione K. 



Per analogia con la (23) si può porre 



(24) K'uX = KuX — (div *f) x , 



