FUNZIONI VETTORIALI 23 



secondochè si intende applicato ad un numero o ad un vettore. 

 Ordinariamente il simbolo (26) viene indicato con la notazione 

 Ao riserbando A per indicare la funzione modgrad. Ora, non 

 rivendo quest'ultima bisogno di simbolo speciale perchè nel cal- 

 colo vettoriale non si presenta mod grad, ma semplicemente 

 grad, noi porremo 



^ A = div grad 



f A' = grad div — rot rot 



e risulta che: A e funzione da applicarsi ad un numero e che 

 produce un numero: A' è funzione da applicarsi ad un vettore 

 e che produce un vettore. Segue che A e A' ammettono le po- 

 tenze di qualsiasi ordine, e AA', A'A non hanno significato. 



Per esprimere brevemente le proprietà dei prodotti delle 

 funzioni grad, rot. div, A, A' scriveremo semplicemente g^ r, ci, 

 al posto di grad, rot, div. 



1 prodotti gg, gr, rd, dd sono privi di significato. Dalle (18) 

 e (19) si ha subito 



(28) rg = dr = 



e per le (27) 



(2!)) dg^i\ gd — rr = A'. 



Dei prodotti di tre delle funzioni g, r, d, alcuni sono privi 

 di significato. Per gli altri si ha dalle (28) (29) % 



(-30) ^ drg = rrg = rgd = gdr = drr^O 



I gdg = </A , dgd= dù^' . rrr = — rA'. 



Da queste formule si ricavano i prodotti di quattro o più 

 funzioni, prese con ripetizione, tra le funzioni g, r, d. In tali 

 formule è però utile la proprietà coniììiutativa del prodotto di A o 

 A' per una delle funzioni g, r, d, come è espresso dalle formule: 



\ A'g = gA, Ad = dA' 

 ^ ^ / A'r=:rA' 



che risultano immediatamente dalle precedenti. 



