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 TEORIA ARITMETICA DELLE FORME CUBICHE TERNARIE 101 



e si noti che, poiché nell'ipotesi delle formole (2), (2'),... si sup- 

 pone che il punto di coordinata ellittica ( — 2)' a sia il tangen- 

 ziale del punto ( — 2)'" a, diverso da questo, non potrà a sua 

 volta questo esser tangenziale del primo e sarà quindi )n — v>2: 

 ne segue che l'ultimo fattore di ( — 2)"-^^ — ( — 2)' non è mai 1, 

 ne è multiplo di 2, perchè tutti i suoi termini sono pari tranne 

 l'ultimo che è 1 ; e quindi la successione dei tangenziali avente A 

 per origine terminerà con un flesso sempre e solo quando il deno- 

 minatore del parametro ellittico di A fper ipotesi parte aliquota di 

 un periodo), aWinfiiori di un fattore 3 non possiede che fattori 2. 

 Se invece tali altri fattori esistono, la successione di tangenziali ha 

 termine perchè alcuni (gli ultimi) di essi si incatenano in poligono 

 chiuso; i vertici di questo poligono abbracciano tutti i punti consi- 

 derati {incluso A) ovvero no, secondochè v = ovvero v > 0, cioè 

 secondochè il detto denominatore non contiene ovvero contiene il 

 fattor 2; e nella seconda ipotesi il numero dei punti che non sono 

 vertici del poligono è precisamente uguale al numero di questi fattori 2. 

 A maggiormente chiarire queste osservazioni è utile notare 

 ancora che, quando la coordinata ellittica di un punto A è una 

 parte aliquota d'un periodo, si può sempre supporre che il denomi- 

 natore possegga il fattor 3; infatti i parametri ellittici di tutti i 

 punti della cubica possono sempre alterarsi tutti per una stessa 

 costante additiva: volendo conservata la condizione che sia nulla, 

 a meno di periodi, la somma dei valori del parametro in punti 

 allineati, tal costante dovrà essere una terza parte d'un periodo, 

 del resto qualunque. L'aggiunzione d'una tal costante porterà 

 nel denominatore il fattor 3, qualora non esistesse. Questa ipo- 

 tesi sarà mantenuta nel seguito per evitare la ripetizione della 

 stessa configurazione, sotto denominatori diversi. 



2. — Indicheremo dunque in generale con a = — la coor- 



ot 



dinata del punto A. La proposizione or ora enunciata circa la 

 forma della successione dei tangenziali a seconda che t è potenza 

 di 2 non, ci conduce a distinguere le configurazioni di punti 

 razionali d'una cubica, razionalmente dedotti da un punto A, in 

 due tipi principali: 



Configurazioni arborescenti corrispondenti a t potenza di 2. 

 Porremo ^ = 2''; il nome adottato sarà più completamente giu- 

 stificato fra poco. 



