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dopo un numero di operazioni determinato in funzione di t, al- 

 l'arresto oper incontro di un flesso o perchè si ripassi per un 

 punto precedente [ed il valore di t determina pure quale dei 

 due casi si verifichi e nel secondo qual sia il punto per cui si 

 ripassa (n. 1)]; esprimendo questi fatti analiticamente si ottiene 

 così fra a e h una equazione determinata per ogni valore di t. 

 Il problema nostro si riconduce così a sapere quando tale equa- 

 zione ammetta soluzioni razionali, e quali esse siano. Noi pas- 

 seremo ad esaminarlo pei primi valori di t. 



Per quanto seguirà è utile intanto osservare che coi punti 

 AAiA^A^ si presenteranno sempre altri due punti razionali, nelle 

 intersezioni della cubica colle rette AA^ e A^A^. Hanno per 

 coordinate: quello sulla AA2 



(2) y =: ax z = 0; 

 quello sulla A-^A^ 



(3) ' 



a— 1 



Sistemi finiti di punti razionali a configurazione 

 arborescente. 



6. t = 2°=l. - Il punto A di coordinata ellittica ~ è 



un flesso: da esso non si deduce razionalmente alcun altro punto 

 della cubica. 



Esistono cubiche che hanno un solo punto razionale, necessa- 

 riamente flesso. La più semplice è la cubica aj^ -j- y^ = bz^ col 

 flesso razionale x = — y, = 0; essa è il primo elemento di 

 una serie infinita di cubiche della forma x^ ~\- y^ = az^ che for- 

 nisce un teorema del P. Pepin (*). 



Chiameremo configurazione £1(0) quella qui ottenuta, costi- 

 tuita da un flesso razionale d'una cubica, non tangenziale di altri 

 punti razionali. 



(*) Pepin. Sur la décomposition d'un notnbre entier en une somme de deux 

 cubes rationnels. Journal de Liouville, 1870. 



