TEORIA ARITMETICA DELLE FORME CUBICHE TERNARIE 109 



7. t = 2. - Il punto A di coordinata ellittica - ha per 



tangenziale il flesso — : è questo l'unico punto dedotto razio- 

 nalmente da A. 



Esistono cubiche che hanno due soli punti razionali, un punto 

 A e il suo tangenziale, flesso. Tale è la cubica z^x-\- pi^zy^ — 

 — 8a?^:=0 (|n intero) col punto razionale x = y = e il suo 

 tangenziale x = z = (tangente di flesso z = 0). Se infatti si 

 risolve l'equazione rispetto a 2; si ha: 



2x 



Il radicando {^yY + 2 {2xY non può esser quadrato per nessun 

 valore intero di x, y per cui x =f (*). 



Chiameremo 0, (i) la configurazione di punti razionali ora 

 descritta. 



8. ^ := 4. - Dal punto A di coordinata ellittica — si 

 deducono razionalmente i tangenziali successivi A^ I — - 



^■2 



^ — flesso) e il punto A' i r— j sulla retta AA^ il cui 



tangenziale è ancora A^ (cfr. n. 3). 



Esistono cubiche con 4 e 4 soli punti razionali formanti la 

 configurazione ora descritta; tal configurazione si chiamerà Si (2). 



Che esistano cubiche a coefficienti razionali su cui 4 punti 

 razionali abbiano la distribuzione nominata, è evidente, ove si 

 osservi che l'assegnare i punti AA1A2 colla condizione che cia- 

 scuno abbia come tangenziale il punto successivo e l'ultimo sia 

 flesso, assegnando pure, volendo, la tangente in questo, equivale 

 ad imporre alla cubica 7 sole condizioni. La razionalità di A' 

 è conseguenza di quella dei punti assegnati. 



Ma esistono cubiche che non posseggono altri punti razionali 

 che i 4 nominati, come mostra l'esempio 



xz^ ~2{x^ — y^) z-^2x [x^^ — rf) = 0. 



(*) Eulero. E1. d'algebre. Voi. 2, Chap. 13. — Legendre. Th. d. nombres. 

 IV Partie, § 1, p. 343. 



