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Per questa cubica i punti indicati sopra con A A' A^ A^ sono 

 rispettivamente i punti (110) (1 — 1 0) (0 1) (0 1 0) ; e su 

 di essa non esistono altri punti razionali; si risolva infatti 

 l'equazione rispetto a ^: si ottiene 



X —y 



» — if -+- V «* — 



Ora è noto (*) che non esistono interi che rendano «/* — rr* 

 quadrato esatto, altro che quelli per cui a? = ovvero x = ±y 

 (cui corrispondono i punti A A' Ai A2 sopra indicati). 



9. t = 8. - Dal punto A di coordinata ellittica — si de- 

 ducono razionalmente i tangenziali successivi Ai 1 — — |, Agl-^i, 

 A-3 ( — 5^; flesso ed i punti A' ^j j sulla retta A A3, A'" I — ~\ 



sulla retta AAg , A'j f ^^ j sulla retta A^ A3 , A" | g— | sulla retta 



AA'. A' e A'" hanno per tangenziale A'i , e questo ha per tangen- 

 ziale A2 ; A" ila per tangenziale Ai . Ciascuno dei punti A', A", 

 A'" è quindi origine d'una poligonale di tangenziali simile a quella 

 che incomincia in A e tutte terminano al medesimo flesso A3 

 (cfr. n. 3). 



Esistono cubiche a coefficienti razionali su cui una tal confi- 

 gurazione è costituita da punti razioìiali. 



Invero è condizione necessaria e sufficiente pel presentarsi 

 di tal configurazione che in una cubica (1) (n. 5) il punto 

 J.3^ (1,1,1) sia un flesso (cfr. n' 1. 3). Ora esprimendo che 

 (1, 1. 1) soddisfa all'equazione dell'hessiano di (1) si ha l'equazione 



ò (è + «2 _ 3a -f 2) = 0. 



Dovendosi escludere la soluzione 0=^0 cui corrisponde la 

 cubica degenere y {x — z){y — ax) = , si ottiene 



(4) b = -{a-l)ia-2) <«M=1,2), 



(*) Legemdbe. Th. dee nombres. — Encyklopà.clie d. math. W. I C 1. 

 Bd Ij - p. 573. 



