TEORIA ARITMETICA DELLE FORME CUBICHE TERNARIE 111 



condizione che si soddisfa evidentemente in numeri razionali, 

 assumendo arbitrariamente (razionale) la a. 



Chiameremo d (3j la configurazione di punti razionali ora 

 analizzata. 



10. t := 16. - Se ad un punto della cubica appartiene 

 il parametro jx, i tangenziali successivi dedotti da esso hanno 



per parametri rispettivi — ol > u» ' — "r ' q" ® quest' ultimo è 



un flesso. Dimostreremo che una tal successione di punti sulla 

 cubica razionale non può essere razionale. Attenendoci stretta- 

 mente alla rappresentazione adottata nel n. 5, l'ipotesi presente 

 equivarrebbe a questa che il tangenziale del punto A^ sia un 

 flesso. Ma se la successione nominata di tangenziali, potesse 

 essere costituita di punti razionali, mediante una trasformazione 

 di coordinate a coefficienti razionali si potrebbe portare i punti 

 (1 0) (0 1) (0 10) (11 1) rispettivamente nei punti di coor- 

 dinate ellittiche — — , j^, — ^, ^, l'ultimo dei quali è un 



flesso. L'equazione della cubica assumerebbe allora la forma (1) 

 colla condizione (4) (n. 9) e, conservando pei punti nominati le 

 notazioni dei n' 5, 9, l'ipotesi presente equivarrebbe a supporre 

 che il primo di essi, A^ sia tangenziale di un punto razionale P. 

 Dalle considerazioni generali del n. 3 risulta che A e A^ 

 sono allora tangenziali rispettivamente di altri punti razionali P 

 e A" allineati col punto P. Si osservi che per lo stesso punto A'' 

 passerà pure la congiungente gli altri due punti di contatto 

 della cubica colle tangenti da A (diversi dai punti P e P" e non 

 necessariamente razionali) ; questa retta insieme colla PA' co- 

 stituisce quindi una conica degenere appartenente al fascio di 

 coniche avente per punti base i punti di contatto delle tangenti 

 alla cubica da A. E se, come qui si vorrebbe supporre, P e P 

 sono razionali, una e quindi entrambe le rette di cui si compone 

 questa conica debbono essere razionali. Così, affinchè esista la 

 configurazione di punti razionali che qui si suppone, è necessario : 

 l'' che nel nominato fascio la conica (degenere) passante per A" 

 (e che lo avrà come punto doppio) si componga di due rette ra- 

 zionali; 2° che una di queste due rette tagli ulteriormente la 

 cubica in due punti razionali. 



